Исследовать сходимость интеграла

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ — Несобственные интегралы

Нам нужно исследовать сходимость интеграла:

 \int_{2}^{3} \frac{x \, dx}{\sqrt{x - 2}} 

Шаг 1: Анализ подынтегральной функции

Подынтегральная функция:  f(x) = \frac{x}{\sqrt{x - 2}} 

На отрезке [2, 3] функция определена всюду, кроме точки x = 2, где знаменатель обращается в ноль. Следовательно, интеграл несобственный по нижнему пределу.

Шаг 2: Преобразуем интеграл в несобственный

Заменим нижний предел на переменную a, стремящуюся к 2 справа:

 \int_{2}^{3} \frac{x}{\sqrt{x - 2}} \, dx = \lim_{a \to 2^+} \int_{a}^{3} \frac{x}{\sqrt{x - 2}} \, dx 

Шаг 3: Вычислим интеграл

Сделаем замену переменной:  u = x - 2 \Rightarrow x = u + 2,\quad dx = du 

Пределы интегрирования изменятся:

• при x = a, u = a - 2
• при x = 3, u = 1

Тогда интеграл принимает вид:

 \int_{a}^{3} \frac{x}{\sqrt{x - 2}} \, dx = \int_{a - 2}^{1} \frac{u + 2}{\sqrt{u}} \, du 

Разделим на два слагаемых:

 \int_{a - 2}^{1} \frac{u + 2}{\sqrt{u}} \, du = \int_{a - 2}^{1} \left( \frac{u}{\sqrt{u}} + \frac{2}{\sqrt{u}} \right) du = \int_{a - 2}^{1} \left( \sqrt{u} + \frac{2}{\sqrt{u}} \right) du 

Вычислим каждый интеграл:

 \int \sqrt{u} \, du = \frac{2}{3} u^{3/2},\quad \int \frac{1}{\sqrt{u}} \, du = 2 \sqrt{u} 

Итак:

 \int_{a - 2}^{1} \left( \sqrt{u} + \frac{2}{\sqrt{u}} \right) du = \left[ \frac{2}{3} u^{3/2} + 4 \sqrt{u} \right]_{a - 2}^{1} 

Подставим пределы:

 \left( \frac{2}{3} \cdot 1^{3/2} + 4 \cdot \sqrt{1} \right) - \left( \frac{2}{3} (a - 2)^{3/2} + 4 \sqrt{a - 2} \right) 

 = \left( \frac{2}{3} + 4 \right) - \left( \frac{2}{3} (a - 2)^{3/2} + 4 \sqrt{a - 2} \right) 

Теперь найдём предел при a \to 2^+. Тогда (a - 2) \to 0^+, и:

 \lim_{a \to 2^+} \left( \frac{2}{3} + 4 - \left( \frac{2}{3} (a - 2)^{3/2} + 4 \sqrt{a - 2} \right) \right) 

Так как (a - 2)^{3/2} \to 0 и \sqrt{a - 2} \to 0, то:

 \lim_{a \to 2^+} \int_{a}^{3} \frac{x}{\sqrt{x - 2}} \, dx = \frac{2}{3} + 4 = \frac{14}{3} 

Ответ:

Интеграл сходится.
Значение интеграла: \frac{14}{3}