Исследовать несобственный интеграл

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ — Несобственные интегралы

Нам необходимо исследовать несобственный интеграл:

 \int_{2}^{+\infty} \frac{E_n(x)}{x} \, dx 

где E_n(x) — должна быть уточнена. Однако, в математике часто под E_n(x) понимается функция Эйлера, определяемая как:

 E_n(x) = \int_1^{x} \frac{(\ln t)^n}{t} \, dt 

(если иное не указано). Но в некоторых источниках под E_n(x) могут понимать экспоненциальную интегральную функцию, или выражение, связанное с ней.

Однако, поскольку в задаче не указано явно, что такое E_n(x), мы рассмотрим наиболее вероятный случай: пусть E_n(x) — это функция Эйлера:

 E_n(x) = \int_1^x \frac{(\ln t)^n}{t} \, dt 

Тогда наш интеграл принимает вид:

 \int_2^{+\infty} \frac{1}{x} \left( \int_1^x \frac{(\ln t)^n}{t} \, dt \right) dx 

Это двойной интеграл, и мы можем рассмотреть его с точки зрения замены порядка интегрирования.

Шаг 1: Перепишем как двойной интеграл

Обозначим:

 I = \int_2^{+\infty} \frac{1}{x} \left( \int_1^x \frac{(\ln t)^n}{t} \, dt \right) dx 

Поменяем порядок интегрирования. Для этого рассмотрим область интегрирования на плоскости (t, x):

• 1 \leq t \leq x
• 2 \leq x < \infty

Следовательно, при замене порядка интегрирования:

• 1 \leq t \leq \infty
• но при этом x \geq \max(t, 2)

То есть:

• для t \in [1, 2]: x \in [2, \infty)
• для t \in [2, \infty): x \in [t, \infty)

Теперь перепишем интеграл, поменяв порядок:

 I = \int_1^2 \frac{(\ln t)^n}{t} \left( \int_2^{\infty} \frac{1}{x} \, dx \right) dt + \int_2^{\infty} \frac{(\ln t)^n}{t} \left( \int_t^{\infty} \frac{1}{x} \, dx \right) dt 

Вычислим внутренние интегралы:

1. \int_2^{\infty} \frac{1}{x} dx = \infty — расходится
2. \int_t^{\infty} \frac{1}{x} dx = \lim_{A \to \infty} \ln A - \ln t = \infty — тоже расходится

Таким образом, оба слагаемых содержат расходящиеся интегралы, и следовательно, весь интеграл расходится.

Ответ:

Интеграл
 \int_2^{+\infty} \frac{E_n(x)}{x} \, dx 
расходится.