Исследовать на сходимость несобственный интеграл

Условие:

Исследовать на сходимость несобственный интеграл

Решение:

Чтобы исследовать на сходимость данный несобственный интеграл \[ \int_{0}^{1} \sqrt{\frac{\sin(x)}{x}} \, dx, \] нужно рассмотреть поведение подынтегральной функции около точки, в которой может возникнуть проблема. В данном случае это точка x = 0, так как функция sin(x)/x не определена в нуле и мы интегрируем пересекая эту точку. Для x, стремящихся к нулю, sin(x) ≈ x (исходя из ряда Тейлора или малости угла), поэтому sin(x)/x стремится к 1. Таким образом, под интегралом мы имеем выражение, которое ведет себя как √1 = 1 вблизи нуля. Следовательно, в самой проблемной точке x = 0, подынтегральная функция ведет себя так, как если бы мы интегрировали функцию, равную 1, что не вызывает расходимости в данной точке (интеграл конечен). Теперь нам нужно исследовать поведение интеграла на всем промежутке от 0 до 1. Поскольку sin(x) ограничен между -1 и 1, а x увеличивается от 0 до 1, функция sqrt(sin(x)/x) останется ограниченной на этом интервале. Поэтому можно ожидать, что интеграл сходится. Для строгого доказательства можно использовать признак сравнения, сравнивая данный интеграл с интегралом от функции, поведение которой известно вблизи нуля, например, с интегралом от 1/√x на интервале от 0 до 1. Такой интеграл сходится, поэтому, если функция под интегралом ведет себя не хуже чем 1/√x, то исходный интеграл также будет сходиться. Конечно, для получения точного численного значения интеграла обычно используются численные методы, так как этот интеграл не выражается в элементарных функциях.