Исследовать на сходимость несобственные интегралы через пределы

Данное задание относится к предмету "Математика", а именно к разделу "Математический анализ" (интегральное исчисление).

Давайте исследуем несобственный интеграл на сходимость. Интеграл: \[ \int_{-2}^0 \frac{1}{(x+1) \sqrt[3]{x+1}} \, dx \] Этот интеграл является несобственным, так как подынтегральная функция \(\frac{1}{(x+1) \sqrt[3]{x+1}}\) имеет разрыв в точке \(x = -1\). Разделим интеграл на две части в точке разрыва: \[ \int_{-2}^0 \frac{1}{(x+1) \sqrt[3]{x+1}} \, dx = \int_{-2}^{-1} \frac{1}{(x+1) \sqrt[3]{x+1}} \, dx + \int_{-1}^{0} \frac{1}{(x+1) \sqrt[3]{x+1}} \, dx \] Каждый из этих интегралов также является несобственным, поэтому для проверки на сходимость рассмотрим пределы:

Рассмотрим первую часть: \[ \int_{-2}^{-1} \frac{1}{(x+1) \sqrt[3]{x+1}} \, dx \] Представим в виде предела: \[ \lim_{\epsilon \to 0^+} \int_{-2}^{-1-\epsilon} \frac{1}{(x+1) \sqrt[3]{x+1}} \, dx \] Изменим переменную \((x+1) \rightarrow t\):

• \( t = x + 1, \quad dt = dx \)
• Пределы интегрирования изменятся:
  • \( x = -2 \rightarrow t = -1 \)
  • \( x = -1 - \epsilon \rightarrow t = -\epsilon \)

Тогда интеграл становится: \[ \lim_{\epsilon \to 0^+} \int_{-1}^{-\epsilon} \frac{1}{t t^{1/3}} \, dt = \lim_{\epsilon \to 0^+} \int_{-1}^{-\epsilon} \frac{1}{t^{4/3}} \, dt \] Взяв интеграл: \[ \int_{-1}^{-\epsilon} t^{-4/3} \, dt = \left. \frac{t^{-4/3 + 1}}{-4/3 + 1} \right|_{-1}^{-\epsilon} = \left. \frac{t^{-1/3}}{-1/3} \right|_{-1}^{-\epsilon} = -3 \left. t^{-1/3} \right|_{-1}^{-\epsilon} \] Подставляем пределы интегрирования:

\[ -3 \left[ (-\epsilon)^{-1/3} - (-1)^{-1/3} \right] = -3 \left[ \epsilon^{-1/3} + 1 \right] \] При приближении \(\epsilon \rightarrow 0^+\), \(\epsilon^{-1/3} \rightarrow \infty\), следовательно, интеграл расходится.

Теперь рассмотрим вторую часть: \[ \int_{-1}^0 \frac{1}{(x+1) \sqrt[3]{x+1}} \, dx \] Ассоциированный предел: \[ \lim_{\delta \to 0^+} \int_{-1+\delta}^{0} \frac{1}{(x+1) \sqrt[3]{x+1}} \, dx \] Изменим переменную \((x+1) \rightarrow t\):

• \( t = x + 1, \quad dt = dx \)
• Пределы интегрирования изменятся:
  • \( x = -1 + \delta \rightarrow t = \delta \)
  • \( x = 0 \rightarrow t = 1 \)

Тогда интеграл становится: \[ \lim_{\delta \to 0^+} \int_{\delta}^{1} \frac{1}{t t^{1/3}} \, dt = \lim_{\delta \to 0^+} \int_{\delta}^{1} \frac{1}{t^{4/3}} \, dt \] Возьмём интеграл: \[ \int_{\delta}^1 t^{-4/3} \, dt = \left. \frac{t^{-4/3 + 1}}{-4/3 + 1} \right|_{\delta}^1 = \left. \frac{t^{-1/3}}{-1/3} \right|_{\delta}^1 = -3 \left. t^{-1/3} \right|_{\delta}^1 \]

Подставляем пределы интегрирования: \[ -3 \left[ 1^{-1/3} - \delta^{-1/3} \right] = -3 \left[ 1 - \delta^{-1/3} \right] \] При приближении \(\delta \rightarrow 0^+\), \(\delta^{-1/3} \rightarrow \infty\), следовательно, интеграл расходится. Так как обе части интеграла расходятся, исходный несобственный интеграл \(\int_{-2}^0 \frac{1}{(x+1) \sqrt[3]{x+1}} \, dx \) также расходится.