Исследовать на локальные экстремумы функцию

Предмет данного задания - Математика, раздел - Математический анализ (исследование функций на экстремумы).

Задание: Исследовать на локальные экстремумы функцию \( f(x, y) = 2x^2 + 4xy + 3y^2 - x - 2y + 3 \). Для нахождения локальных экстремумов функции двух переменных необходимо:

1. Найти частные производные функции по \( x \) и \( y \).
2. Найти критические точки, решив систему уравнений, полученную из частных производных.
3. Определить, являются ли найденные точки экстремумами (минимумами, максимумами или седловыми точками) с помощью второго порядка условий.

Шаг 1: Найдём частные производные функции.

Частная производная по \( x \):

\[ f(x, y) = 2x^2 + 4xy + 3y^2 - x - 2y + 3 \] \[ f_x(x, y) = \frac{\partial}{\partial x} (2x^2 + 4xy + 3y^2 - x - 2y + 3) = 4x + 4y - 1 \]

Частная производная по \( y \):

\[ f_y(x, y) = \frac{\partial}{\partial y} (2x^2 + 4xy + 3y^2 - x - 2y + 3) = 4x + 6y - 2 \]

Шаг 2: Найдём критические точки, решив систему уравнений.

\[ \begin{cases} 4x + 4y - 1 = 0 \\ 4x + 6y - 2 = 0 \end{cases} \]

Решим систему:

1. Вычтем первое уравнение из второго: \[ (4x + 6y - 2) - (4x + 4y - 1) = 0 \rightarrow 2y - 1 = 0 \rightarrow y = \frac{1}{2} \]
2. Подставим значение \( y \) в первое уравнение: \[ 4x + 4\left(\frac{1}{2}\right) - 1 = 0 \rightarrow 4x + 2 - 1 = 0 \rightarrow 4x + 1 = 0 \rightarrow x = -\frac{1}{4} \]

Критическая точка: \( \left(-\frac{1}{4}, \frac{1}{2}\right) \).

Шаг 3: Определим характер критической точки с помощью второго порядка условий.

Для определения характера критической точки используем гессиан (матрицу вторых производных).

Вторые производные:

\[ f_{xx} = \frac{\partial}{\partial x} (4x + 4y - 1) = 4 \]

\[ f_{xy} = \frac{\partial}{\partial y} (4x + 4y - 1) = 4 \]

\[ f_{yy} = \frac{\partial}{\partial y} (4x + 6y - 2) = 6 \]

Запишем гессиан:

\[ H = \begin{vmatrix} f_{xx} & f_{xy} \\ f_{xy} & f_{yy} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 4 & 4 \\ 4 & 6 \end{vmatrix} \]

Найдём определитель гессиана:

\[ H = 4 \cdot 6 - 4 \cdot 4 = 24 - 16 = 8 \quad (\text{положительный}) \]

Поскольку \( f_{xx} > 0 \) и определитель \( H > 0 \), точка \( \left(-\frac{1}{4}, \frac{1}{2}\right) \) является точкой минимума.

Итак, функция имеет локальный минимум в точке \( \left(-\frac{1}{4}, \frac{1}{2}\right) \).