Интегрирование рациональных функций

Определение предмета и раздела:

Предмет: Математика
Раздел: Интегралы (Интегрирование рациональных функций)

Решение интеграла:

Дан определенный интеграл:

\int \frac{dx}{4x^2 - 4x + 3}

Шаг 1: Приведение квадратного многочлена к удобному виду

Рассмотрим знаменатель:

4x^2 - 4x + 3

Попробуем представить его в виде полного квадрата:

1. Представим коэффициент перед x^2 как 4(x^2 - x).
2. Завершим полный квадрат:

x^2 - x — добавим и вычтем \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}:

x^2 - x + \frac{1}{4} - \frac{1}{4} = \left(x - \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{4}

Умножим на 4:

4(x^2 - x) + 3 = 4\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 - 1

Шаг 2: Замена переменной

Обозначим:

t = x - \frac{1}{2}, тогда

4x^2 - 4x + 3 = 4t^2 + 2

Интеграл принимает вид:

\int \frac{dx}{4t^2 + 2}

Вынесем 2 из знаменателя:

\int \frac{dx}{2(2t^2 + 1)}

Вынесем \frac{1}{2} за знак интеграла:

\frac{1}{2} \int \frac{dx}{2t^2 + 1}

Так как dx = dt, то:

\frac{1}{2} \int \frac{dt}{2t^2 + 1}

Шаг 3: Использование стандартного интеграла

Мы знаем, что:

\int \frac{dx}{a^2 + x^2} = \frac{1}{a} \arctan\left(\frac{x}{a}\right) + C

В нашем случае a^2 = \frac{1}{2} \Rightarrow a = \frac{1}{\sqrt{2}}.

Следовательно:

\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\sqrt{2}}} \arctan\left(\frac{t}{\frac{1}{\sqrt{2}}}\right) + C

Упростим:

\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \arctan\left(\sqrt{2} t\right) + C

Подставляя t = x - \frac{1}{2}, получаем окончательный ответ:

\frac{\sqrt{2}}{2} \arctan\left(\sqrt{2} \left(x - \frac{1}{2}\right)\right) + C

Ответ:

\frac{\sqrt{2}}{2} \arctan\left(\sqrt{2} \left(x - \frac{1}{2}\right)\right) + C