Интегрирование рациональных функций

Определение предмета и раздела:

Предмет: Математика
Раздел: Интегралы (Интегрирование рациональных функций)

Решение интеграла:

Дан определенный интеграл:

$\int \frac{dx}{4x^2-4x+3}$

Шаг 1: Приведение квадратного многочлена к удобному виду

Рассмотрим знаменатель:

$4x^2-4x+3$

Попробуем представить его в виде полного квадрата:

1. Представим коэффициент перед $x^2$ как $4(x^2-x)$.
2. Завершим полный квадрат:

$x^2-x$ — добавим и вычтем ${\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}$:

$x^2-x+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}={(x-\frac{1}{2})}^2-\frac{1}{4}$

Умножим на 4:

$4(x^2-x)+3=4{(x-\frac{1}{2})}^2-1$

Шаг 2: Замена переменной

Обозначим:

$t=x-\frac{1}{2}$, тогда

$4x^2-4x+3=4t^2+2$

Интеграл принимает вид:

$\int \frac{dx}{4t^2+2}$

Вынесем 2 из знаменателя:

$\int \frac{dx}{2(2t^2+1)}$

Вынесем $\frac{1}{2}$ за знак интеграла:

$\frac{1}{2}\int \frac{dx}{2t^2+1}$

Так как $dx=dt$, то:

$\frac{1}{2}\int \frac{dt}{2t^2+1}$

Шаг 3: Использование стандартного интеграла

Мы знаем, что:

$\int \frac{dx}{a^2+x^2}=\frac{1}{a}\arctan \left(\frac{x}{a}\right)+C$

В нашем случае $a^2=\frac{1}{2}\Rightarrow a=\frac{1}{\sqrt{2}}$.

Следовательно:

$\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{\frac{1}{\sqrt{2}}}\arctan \left(\frac{t}{\frac{1}{\sqrt{2}}}\right)+C$

Упростим:

$\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2}\arctan \left(\sqrt{2}t\right)+C$

Подставляя $t=x-\frac{1}{2}$, получаем окончательный ответ:

$\frac{\sqrt{2}}{2}\arctan \left(\sqrt{2}(x-\frac{1}{2})\right)+C$

Ответ:

$\frac{\sqrt{2}}{2}\arctan \left(\sqrt{2}(x-\frac{1}{2})\right)+C$