Интегрирование

Данное задание относится к предмету "Математика", раздел "Интегральное исчисление".

Поставленная задача – это интегрирование. Нам дан определенный интеграл S 6x dx / cos^2(3x^2-1). Функция, которую мы должны проинтегрировать, имеет вид 6x / cos^2(3x^2-1). Это можно переписать как 6x * sec^2(3x^2-1), где sec – это секанс, обратная функция к косинусу.

Для решения этого интеграла будет удобно использовать метод подстановки. Давайте попробуем сделать подстановку u = 3x^2 - 1. Тогда дифференциал du будет равен производной этой функции по x, то есть:

du/dx = 6x => du = 6x dx

Это показывает, что наш интеграл становится простым интегралом от sec^2(u) du, поскольку 6x dx равняется du. Теперь интеграл принимает вид:

∫ sec^2(u) du

Известно, что интеграл от sec^2(u) по u равен tan(u) + C, где C – произвольная константа интегрирования.

Таким образом, интеграл от 6x dx / cos^2(3x^2 - 1) равен tan(3x^2 - 1) + C.

Ответ: tan(3x^2 - 1) + C.