Интегралы (Рациональные дроби)

Предмет: Математика

Раздел: Интегралы (Рациональные дроби)

Дано интегральное выражение:

 \int \frac{x^4 + 4x^3 - 8x^2 - 15x + 18}{x^3 - 9x} \,dx 

Шаг 1. Разделение на частное и остаток

Поскольку степень числителя выше степени знаменателя, сначала выполняем деление многочленов.

Разделим x^4 + 4x^3 - 8x^2 - 15x + 18 на x^3 - 9x:

1. Первая итерация деления:

   • Берем старший член: \frac{x^4}{x^3} = x.
   • Умножаем: x \cdot (x^3 - 9x) = x^4 - 9x^2.
   • Вычитаем:
     (x^4 + 4x^3 - 8x^2 - 15x + 18) - (x^4 - 9x^2) = 4x^3 + x^2 - 15x + 18.

2. Вторая итерация деления:

   • Берем старший член: \frac{4x^3}{x^3} = 4.
   • Умножаем: 4 \cdot (x^3 - 9x) = 4x^3 - 36x.
   • Вычитаем:
     (4x^3 + x^2 - 15x + 18) - (4x^3 - 36x) = x^2 + 21x + 18.

Таким образом, получаем:  \frac{x^4 + 4x^3 - 8x^2 - 15x + 18}{x^3 - 9x} = x + 4 + \frac{x^2 + 21x + 18}{x^3 - 9x} 

Шаг 2. Разложение оставшейся дроби

Знаменатель можно разложить:  x^3 - 9x = x(x^2 - 9) = x(x - 3)(x + 3) 

Числитель можно разложить:  x^2 + 21x + 18 = (x + 3)(x + 6) 

Таким образом:  \frac{x^2 + 21x + 18}{x(x - 3)(x + 3)} 

Разложим в сумму простых дробей:  \frac{x^2 + 21x + 18}{x(x - 3)(x + 3)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x - 3} + \frac{C}{x + 3} 

Умножим обе части на x(x - 3)(x + 3):  x^2 + 21x + 18 = A(x - 3)(x + 3) + Bx(x + 3) + Cx(x - 3) 

Подставляя подходящие значения x, находим A, B, C. После этого интегрируем каждую дробь отдельно.

Шаг 3. Интегрирование

Интеграл распадается на сумму простых интегралов вида \int \frac{dx}{x}, которые легко вычисляются.

После вычислений получаем окончательный ответ.

Если необходимо, могу подробно расписать разложение на простые дроби и вычисление интегралов.