Интегралы, приводящиеся к табличным

Предмет: Математика
Раздел: Интегральное исчисление (неопределенные интегралы)

Для каждого интеграла из списка необходимо определить, приводится ли он к табличным интегралам. Рассмотрим их по порядку:

Анализ интегралов:

1. а) \int \frac{dx}{x\sqrt{3 - \ln^2{x}}}

   • Здесь можно попробовать подстановку t = \ln{x}, что приведет к интегралу, содержащему выражение вида \sqrt{a - t^2}, что соответствует табличному интегралу.

2. б) \int \frac{x}{\sin(5x^2 + 7)}dx

   • Подстановка t = 5x^2 + 7 приводит к стандартному интегралу вида \int \frac{dt}{\sin{t}}.

3. в) \int \frac{1}{\sqrt{x(1 + x)}}dx

   • Подстановка t = \sqrt{x} может привести к табличному виду.

4. г) \int e^{2x} \cos(e^{2x} - 1)dx

   • Подстановка t = e^{2x} - 1 приводит к табличному интегралу.

5. д) \int \frac{e^{\alpha 3x}}{\sin{3x}}dx

   • Может быть сведено к табличному интегралу с экспонентой и синусом.

6. е) \int \ln(7 - 2x)dx

   • Интеграл стандартного вида \int \ln{x}dx, который решается по формуле \int \ln{x}dx = x\ln{x} - x + C.

7. ж) \int \frac{x^4}{16 - x^{10}}dx

   • Подстановка t = x^5 приводит к дробно-рациональному виду.

8. з) \int \frac{1}{x^2 \sin{\left(\frac{1}{x}\right)}}dx

   • Подстановка t = \frac{1}{x} приводит к табличному виду.

9. и) \int \frac{\sin{x}dx}{\sqrt{\cos^2{x} - 5}}

   • Подстановка t = \cos{x} приводит к табличному виду.

10. к) \int \frac{5^x dx}{\sin{2 \cdot 5^x}}

    • Подстановка t = 5^x приводит к табличному виду.

11. л) \int \cos{x} \cdot \operatorname{ctg}(1 + \sin{x})dx

    • Подстановка t = 1 + \sin{x} приводит к табличному виду.

12. м) \int 7^{3x^2}dx

    • Подстановка t = 3x^2 приводит к табличному виду.

13. н) \int \frac{\arcsin{5x}dx}{\sqrt{1 - 4x^2}}

    • Подстановка t = \arcsin{5x} приводит к табличному интегралу.

14. о) \int \frac{(2x + 5)}{\cos^2{(x^2 + 5x + 4)}}dx

    • Подстановка t = x^2 + 5x + 4 приводит к табличному виду.

15. п) \int \frac{\cos{3x} \sin{3x}dx}{\cos^2{3x} + 5}

    • Подстановка t = \cos{3x} приводит к табличному виду.

Вывод:

Все предложенные интегралы можно свести к табличным с помощью подходящих подстановок.