Интегралы (неопределенные интегралы)

Предмет: Математика
Раздел: Интегралы (неопределенные интегралы)

Рассмотрим данный интеграл:
\int \frac{dx}{\sqrt[5]{3 - 5x + 1}}

Упростим выражение под корнем:
3 - 5x + 1 = 4 - 5x

То есть, интеграл принимает вид:
\int \frac{dx}{\sqrt[5]{4 - 5x}}

Замена переменной:

Пусть
t = 4 - 5x,
тогда
dt = -5dx,
или
dx = -\frac{dt}{5}.

Подставим это в интеграл:
\int \frac{-\frac{dt}{5}}{\sqrt[5]{t}}
= -\frac{1}{5} \int t^{-1/5} dt.

Интегрирование:

Используем стандартную формулу интегрирования степенной функции:
\int t^n dt = \frac{t^{n+1}}{n+1} + C,
где n = -\frac{1}{5}.

Тогда:
\int t^{-1/5} dt = \frac{t^{4/5}}{4/5} = \frac{5}{4} t^{4/5}.

Подставляем это в интеграл:
-\frac{1}{5} \cdot \frac{5}{4} t^{4/5} = -\frac{1}{4} t^{4/5}.

Возвращаемся к исходной переменной:
t = 4 - 5x,
поэтому:
-\frac{1}{4} (4 - 5x)^{4/5} + C.

Ответ:

-\frac{1}{4} (4 - 5x)^{4/5} + C.