Интегралы (интегрирование рациональных дробей)

Предмет: Математика
Раздел: Интегралы (интегрирование рациональных дробей)

Дан определённый интеграл:
 \int \frac{5x^3 + 9x^2 - 22x - 8}{x^3 - 4x} \,dx. 

Шаг 1: Разложение знаменателя

Рассмотрим знаменатель:
 x^3 - 4x = x(x^2 - 4) = x(x - 2)(x + 2). 
Таким образом, знаменатель разлагается на множители.

Шаг 2: Деление многочленов

Выполним деление числителя на знаменатель:

Числитель:  5x^3 + 9x^2 - 22x - 8 
Знаменатель:  x^3 - 4x 

Делим первый член числителя на первый член знаменателя:
 \frac{5x^3}{x^3} = 5. 

Умножаем 5 на знаменатель:
 5(x^3 - 4x) = 5x^3 - 20x. 

Вычитаем из числителя:
 (5x^3 + 9x^2 - 22x - 8) - (5x^3 - 20x) = 9x^2 - 2x - 8. 

Теперь разберём дробь:
 \frac{9x^2 - 2x - 8}{x(x - 2)(x + 2)}. 

Шаг 3: Разложение на простейшие дроби

Представим дробь в виде суммы простейших дробей:
 \frac{9x^2 - 2x - 8}{x(x - 2)(x + 2)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x - 2} + \frac{C}{x + 2}. 

Умножим обе части на знаменатель x(x - 2)(x + 2):
 9x^2 - 2x - 8 = A(x - 2)(x + 2) + Bx(x + 2) + Cx(x - 2). 

Шаг 4: Определение коэффициентов

Подставляем удобные значения:

1. При x = 0:
   9(0)^2 - 2(0) - 8 = A(0 - 2)(0 + 2) + B(0)(0 + 2) + C(0)(0 - 2)
   -8 = A(-4) \Rightarrow A = 2.

2. При x = 2:
   9(2)^2 - 2(2) - 8 = A(2 - 2)(2 + 2) + B(2)(2 + 2) + C(2)(2 - 2)
   36 - 4 - 8 = B(2)(4)
   24 = 8B \Rightarrow B = 3.

3. При x = -2:
   9(-2)^2 - 2(-2) - 8 = A(-2 - 2)(-2 + 2) + B(-2)(-2 + 2) + C(-2)(-2 - 2)
   36 + 4 - 8 = C(-2)(-4)
   32 = 8C \Rightarrow C = 4.

Шаг 5: Интегрирование

Теперь интеграл принимает вид:

 \int 5 \,dx + \int \frac{2}{x} \,dx + \int \frac{3}{x - 2} \,dx + \int \frac{4}{x + 2} \,dx. 

Решаем каждый интеграл:

 5x + 2 \ln |x| + 3 \ln |x - 2| + 4 \ln |x + 2| + C. 

Ответ:

 5x + 2 \ln |x| + 3 \ln |x - 2| + 4 \ln |x + 2| + C.