Интегральное вычисление переменной функции

Определение предмета:

Это задание связано с интегральным исчислением — разделом математического анализа, который изучает способы вычисления площади, объёма и других величин через интегралы. А именно, это пример двойного интеграла.

Двойной интеграл:

Задано вычислить двойной интеграл: \[ \iint_D \left( y\sqrt{x} + 2 \right) dx dy \] где область \( D \) задана: \( 0 \leq x \leq 1 \) и \( 0 \leq y \leq 2 \). То есть границы для \( x \) от 0 до 1, а для \( y \) — от 0 до 2.

Шаги решения:

1. Вынесем функцию под интегралом:

   \[ \iint_D \left( y\sqrt{x} + 2 \right) dx dy = \iint_D y\sqrt{x} dx dy + \iint_D 2 dx dy \] Теперь у нас получилось два интеграла:

   • первый — от \( y\sqrt{x} \),
   • второй — от 2.
2. Выполним интегрирование по \( x \): Интегрируем \( y\sqrt{x} \) по \( x \), рассматривая \( y \) как константу:

   \[ \int_0^1 y\sqrt{x} dx = y \int_0^1 \sqrt{x} dx \] Интеграл \[ \int \sqrt{x} dx = \frac{2}{3}x^{3/2} \]. Теперь подставляем границы от 0 до 1:

   \[ y \int_0^1 \sqrt{x} dx = y \cdot \left[ \frac{2}{3}x^{3/2} \right]_0^1 = y \cdot \frac{2}{3} (1 - 0) = \frac{2}{3}y \]

3. Интегрируем результат по \( y \):

   \[ \int_0^2 \frac{2}{3} y dy = \frac{2}{3} \int_0^2 y dy = \frac{2}{3} \cdot \left[ \frac{y^2}{2} \right]_0^2 = \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{2} = \frac{2}{3} \cdot 2 = \frac{4}{3} \]

Второй интеграл:

\( \iint_D 2 dx dy \)

4. Интегрируем 2 по \( x \):

   \[ \int_0^1 2 dx = 2x \Big|_0^1 = 2(1 - 0) = 2 \]

5. Интегрируем результат по \( y \):

   \[ \int_0^2 2 dy = 2y \Big|_0^2 = 2(2 - 0) = 4 \]

Финальный результат:

Теперь складываем результаты двух интегралов: \[ \frac{4}{3} + 4 = \frac{4}{3} + \frac{12}{3} = \frac{16}{3} \]

Итак, значение данного двойного интеграла равно: \[ \boxed{\frac{16}{3}} \]