Интегральное исчисление (неопределённые интегралы)

Определение предмета и раздела:

Предмет: Математика
Раздел: Интегральное исчисление (неопределённые интегралы)

Решение:

Дан интеграл:

 I = \int \frac{3x - 4 + \sqrt[3]{x+1}}{\sqrt{x+1}} \,dx 

1. Разделение дроби:

Разделим каждое слагаемое числителя на знаменатель:

 I = \int \left( \frac{3x}{\sqrt{x+1}} - \frac{4}{\sqrt{x+1}} + \frac{\sqrt[3]{x+1}}{\sqrt{x+1}} \right) dx 

2. Подстановка:

Введём новую переменную:

 t = \sqrt{x+1} \Rightarrow x + 1 = t^2, \quad dx = 2t \, dt 

3. Выражение подынтегральных функций через ( t ):

Так как ( x = t^2 - 1 ), преобразуем каждое слагаемое:

1.  \frac{3x}{\sqrt{x+1}} = \frac{3(t^2 - 1)}{t} = 3t - \frac{3}{t} 
2.  \frac{4}{\sqrt{x+1}} = \frac{4}{t} 
3.  \frac{\sqrt[3]{x+1}}{\sqrt{x+1}} = \frac{\sqrt[3]{t^2}}{t} = \frac{t^{2/3}}{t} = t^{-1/3} 

Таким образом, интеграл принимает вид:

 I = \int \left( 3t - \frac{3}{t} - \frac{4}{t} + t^{-1/3} \right) 2t \, dt 

4. Раскрываем скобки:

 I = \int \left( 6t^2 - \frac{6t}{t} - \frac{8t}{t} + 2t^{2/3} \right) dt 

Упрощаем:

 I = \int \left( 6t^2 - 6 - 8 + 2t^{2/3} \right) dt 

 I = \int \left( 6t^2 - 14 + 2t^{2/3} \right) dt 

5. Интегрируем каждое слагаемое:

1.  \int 6t^2 dt = 6 \cdot \frac{t^3}{3} = 2t^3 
2.  \int (-14) dt = -14t 
3.  \int 2t^{2/3} dt = 2 \cdot \frac{t^{5/3}}{5/3} = \frac{6}{5} t^{5/3} 

6. Подставляем ( t = \sqrt{x+1} ):

 I = 2(x+1)^{3/2} - 14(x+1)^{1/2} + \frac{6}{5} (x+1)^{5/6} + C 

Ответ:

 I = 2(x+1)^{3/2} - 14(x+1)^{1/2} + \frac{6}{5} (x+1)^{5/6} + C