Интеграл от минус 3 до 2 от ((2х-3) синус((πnx) /3) по dx. Вычислить с подробным решением

Предмет: Математика
Раздел: Интегралы, вычисление определённых интегралов

Дана задача: вычислить определённый интеграл
\int_{-3}^{2} (2x - 3) \sin\left(\frac{\pi n x}{3}\right) dx.

Шаг 1: Запишем интеграл

 I = \int_{-3}^{2} (2x - 3) \sin\left(\frac{\pi n x}{3}\right) dx 

Шаг 2: Используем метод интегрирования по частям

Пусть
u = 2x - 3 \quad \Rightarrow \quad du = 2 dx
dv = \sin\left(\frac{\pi n x}{3}\right) dx

Найдём v:
 v = \int \sin\left(\frac{\pi n x}{3}\right) dx 

Для интегрирования используем замену:
t = \frac{\pi n x}{3} \Rightarrow dt = \frac{\pi n}{3} dx \Rightarrow dx = \frac{3}{\pi n} dt

Тогда
 v = \int \sin t \cdot \frac{3}{\pi n} dt = \frac{3}{\pi n} \int \sin t dt = -\frac{3}{\pi n} \cos t + C = -\frac{3}{\pi n} \cos\left(\frac{\pi n x}{3}\right) + C 

Шаг 3: Применяем формулу интегрирования по частям

 I = uv \Big|_{-3}^{2} - \int_{-3}^{2} v du = (2x - 3) \cdot \left(-\frac{3}{\pi n} \cos\left(\frac{\pi n x}{3}\right)\right) \Big|_{-3}^{2} - \int_{-3}^{2} \left(-\frac{3}{\pi n} \cos\left(\frac{\pi n x}{3}\right)\right) \cdot 2 dx 

Упростим:
 I = -\frac{3}{\pi n} (2x - 3) \cos\left(\frac{\pi n x}{3}\right) \Big|_{-3}^{2} + \frac{6}{\pi n} \int_{-3}^{2} \cos\left(\frac{\pi n x}{3}\right) dx 

Шаг 4: Вычислим оставшийся интеграл

 J = \int_{-3}^{2} \cos\left(\frac{\pi n x}{3}\right) dx 

Снова сделаем замену:
 t = \frac{\pi n x}{3} \Rightarrow dx = \frac{3}{\pi n} dt 

Пределы интегрирования в переменной t:
 x = -3 \Rightarrow t = \frac{\pi n (-3)}{3} = -\pi n 
 x = 2 \Rightarrow t = \frac{\pi n \cdot 2}{3} = \frac{2 \pi n}{3} 

Тогда
 J = \int_{t=-\pi n}^{\frac{2 \pi n}{3}} \cos t \cdot \frac{3}{\pi n} dt = \frac{3}{\pi n} \int_{-\pi n}^{\frac{2 \pi n}{3}} \cos t dt = \frac{3}{\pi n} \left[ \sin t \right]_{-\pi n}^{\frac{2 \pi n}{3}} = \frac{3}{\pi n} \left( \sin\left(\frac{2 \pi n}{3}\right) - \sin(-\pi n) \right) 

Используем, что \sin(-\alpha) = -\sin \alpha:
 J = \frac{3}{\pi n} \left( \sin\left(\frac{2 \pi n}{3}\right) + \sin(\pi n) \right) 

Шаг 5: Подставим обратно в выражение для I

Сначала вычислим границы для первого слагаемого:
 -\frac{3}{\pi n} (2x - 3) \cos\left(\frac{\pi n x}{3}\right) \Big|_{-3}^{2} = -\frac{3}{\pi n} \left[ (2 \cdot 2 - 3) \cos\left(\frac{2 \pi n}{3}\right) - (2 \cdot (-3) - 3) \cos(-\pi n) \right] 

Вычислим коэффициенты:
2 \cdot 2 - 3 = 4 - 3 = 1
2 \cdot (-3) - 3 = -6 - 3 = -9

Также используем, что \cos(-\theta) = \cos \theta:
 = -\frac{3}{\pi n} \left[ 1 \cdot \cos\left(\frac{2 \pi n}{3}\right) - (-9) \cos(\pi n) \right] = -\frac{3}{\pi n} \left[ \cos\left(\frac{2 \pi n}{3}\right) + 9 \cos(\pi n) \right] 

Теперь подставляем J:
 I = -\frac{3}{\pi n} \left[ \cos\left(\frac{2 \pi n}{3}\right) + 9 \cos(\pi n) \right] + \frac{6}{\pi n} \cdot \frac{3}{\pi n} \left( \sin\left(\frac{2 \pi n}{3}\right) + \sin(\pi n) \right) = -\frac{3}{\pi n} \left[ \cos\left(\frac{2 \pi n}{3}\right) + 9 \cos(\pi n) \right] + \frac{18}{\pi^2 n^2} \left( \sin\left(\frac{2 \pi n}{3}\right) + \sin(\pi n) \right) 

Итоговый ответ:

 \boxed{ \int_{-3}^{2} (2x - 3) \sin\left(\frac{\pi n x}{3}\right) dx = -\frac{3}{\pi n} \left[ \cos\left(\frac{2 \pi n}{3}\right) + 9 \cos(\pi n) \right] + \frac{18}{\pi^2 n^2} \left( \sin\left(\frac{2 \pi n}{3}\right) + \sin(\pi n) \right) } 

Если нужно, могу помочь упростить выражение для конкретных значений n.