Два неопределённых интеграла, которые нужно решить

Задание (п)

\[ \int \sqrt{4 - 4x^2} dx \]
Это типовой интеграл, который решается путём подстановки вида \( x = a \sin \theta \), так как подкоренное выражение похоже на \( a^2 - x^2 \).

В данном случае давайте применим подстановку: \[ x = \sin \theta, \quad dx = \cos \theta d\theta \]
Подставим это в интеграл: \[ \int \sqrt{4 - 4x^2} dx = \int \sqrt{4(1 - x^2)} dx = 2 \int \sqrt{1 - \sin^2 \theta} \cdot \cos \theta d\theta \]
Из тригонометрической идентичности: \[ \sqrt{1 - \sin^2 \theta} = \cos \theta \]
Тогда интеграл преобразуется: \[ 2 \int \cos^2 \theta d\theta \]
Для того чтобы решить этот интеграл, нам нужно применить формулу приведения для косинуса: \[ \cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2} \]
Тогда: \[ 2 \int \cos^2 \theta d\theta = 2 \int \frac{1 + \cos 2\theta}{2} d\theta = \int (1 + \cos 2\theta) d\theta \]

Решим интеграл: \[ \int (1 + \cos 2\theta) d\theta = \theta + \frac{\sin 2\theta}{2} + C \]
Теперь вернёмся к переменной \(x\). Напомним, что \(x = \sin \theta\), следовательно, \( \theta = \arcsin x \), и: \[ \frac{\sin 2\theta}{2} = \frac{2\sin \theta \cos \theta}{2} = \sin \theta \cos \theta = x \sqrt{1 - x^2} \]
Таким образом, ответ на первый интеграл: \[ \int \sqrt{4 - 4x^2} dx = 2\arcsin x + 2x \sqrt{1 - x^2} + C \]

Задание (р)

\[ \int \frac{\cos 2x}{\cos^2 x \sin^2 x} dx \]
Этот интеграл можно упростить с использованием тригонометрических тождеств. Обратим внимание на знаменатель: \[ \cos^2 x \sin^2 x = \frac{1}{4} \sin^2 2x \]
Используем это преобразование: \[ \int \frac{\cos 2x}{\frac{1}{4} \sin^2 2x} dx = 4 \int \frac{\cos 2x}{\sin^2 2x} dx \]
Теперь это интеграл вида: \[ 4 \int \cot 2x \csc 2x \, dx \]
Этот интеграл имеет стандартный вид и решается следующим образом: \[ 4 \int \cot 2x \csc 2x \, dx = -2 \csc 2x + C \]
Ответ: \[ \int \frac{\cos 2x}{\cos^2 x \sin^2 x} dx = -2 \csc 2x + C \]

Итоговые ответы:

1. \( \int \sqrt{4 - 4x^2} dx = 2\arcsin x + 2x \sqrt{1 - x^2} + C\)
2. \( \int \frac{\cos 2x}{\cos^2 x \sin^2 x} dx = -2 \csc 2x + C \)

Это задание из высшей математики, раздел - интегралы. Здесь даны два неопределённых интеграла, которые нужно решить. Давайте рассмотрим каждый из них по порядку: