Доказать, что функция удовлетворяет уравнению Лапласа

Данное задание относится к разделу математики, точнее к дифференциальным уравнениям и частным производным. Требуется доказать, что функция \( U = \ln \sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2} \) удовлетворяет уравнению Лапласа: \[ \frac{\partial^2 U}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 U}{\partial y^2} = 0 \]

1. Запишем функцию: \[ U = \ln \sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2} \] Эту функцию можно упростить: \[ U = \ln \left( (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 \right)^{1/2} = \frac{1}{2} \ln \left( (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 \right) \]
2. Найдём частные производные первого порядка: Обозначим \( r = \sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2} \). Тогда: \[ U = \frac{1}{2} \ln(r^2) \] Вспомним, что \( \ln(r^2) = 2\ln(r) \), значит: \[ U = \ln(r) \] Теперь нужно взять производные \( U \) по \( x \) и \( y \): \[ U = \ln \sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2} \] Сначала частная производная по \( x \): \[ \frac{\partial U}{\partial x} = \frac{1}{r} \cdot \frac{\partial r}{\partial x} \] где \( r = \sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2} \). Далее: \[ \frac{\partial r}{\partial x} = \frac{1}{2\sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2}} \cdot 2(x - x_0) = \frac{x - x_0}{r} \] Таким образом: \[ \frac{\partial U}{\partial x} = \frac{x - x_0}{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2} \]
3. Найдём вторую частную производную \( U \) по \( x \): \[ \frac{\partial^2 U}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x}\left( \frac{x - x_0}{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2} \right) \] Применим правило частного: \[ \frac{\partial^2 U}{\partial x^2} = \frac{((x - x_0)^2 + (y - y_0)^2) \cdot 1 - (x - x_0) \cdot 2(x - x_0)}{((x - x_0)^2 + (y - y_0)^2)^2} \] \[ \frac{\partial^2 U}{\partial x^2} = \frac{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 - 2(x - x_0)^2}{((x - x_0)^2 + (y - y_0)^2)^2} \] \[ \frac{\partial^2 U}{\partial x^2} = \frac{(y - y_0)^2 - (x - x_0)^2}{((x - x_0)^2 + (y - y_0)^2)^2} \]
4. Найдём вторую частную производную \( U \) по \( y \): Аналогично: \[ \frac{\partial U}{\partial y} = \frac{y - y_0}{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2} \] \[ \frac{\partial^2 U}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y}\left( \frac{y - y_0}{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2} \right) \] \[ \frac{\partial^2 U}{\partial y^2} = \frac{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 - 2(y - y_0)^2}{((x - x_0)^2 + (y - y_0)^2)^2} \] \[ \frac{\partial^2 U}{\partial y^2} = \frac{(x - x_0)^2 - (y - y_0)^2}{((x - x_0)^2 + (y - y_0)^2)^2} \]
5. Сложим вторые производные: \[ \frac{\partial^2 U}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 U}{\partial y^2} = \frac{(y - y_0)^2 - (x - x_0)^2}{((x - x_0)^2 + (y - y_0)^2)^2} + \frac{(x - x_0)^2 - (y - y_0)^2}{((x - x_0)^2 + (y - y_0)^2)^2} = 0 \] Таким образом, функция \( U \) действительно удовлетворяет уравнению Лапласа!