Для заданной функции провести исследование: точки минимума, максимума, точки перегиба

Это математическое задание, относящееся к разделу математики, называемому «Анализ» или «Дифференциальное исчисление». Цель работы заключается в исследовании и построении графика заданной функции \(y = x^3 + 9x^2 + 15x + 11\).

1. Нахождение производной функции \(y'\)

Первая производная функции нужна для определения критических точек (точек минимума и максимума) и интервалов возрастания и убывания. \(y'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 + 9x^2 + 15x + 11)\) \(y'(x) = 3x^2 + 18x + 15\)

2. Нахождение критических точек

Критические точки находятся, когда первая производная равна нулю или не существует. Решим уравнение \(y'(x) = 0\): \(3x^2 + 18x + 15 = 0\) Решим квадратное уравнение для нахождения корней: Дискриминант \(D = b^2 - 4ac = 18^2 - 4 \cdot 3 \cdot 15 = 324 - 180 = 144\) Корни уравнения: \(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-18 \pm \sqrt{144}}{6} = \frac{-18 \pm 12}{6}\) \(x_1 = \frac{-18 + 12}{6} = -1\) \(x_2 = \frac{-18 - 12}{6} = -5\) Эти точки являются потенциальными точками минимума и максимума.

3. Определим возрастание и убывание функции

Проверим знаки производной на интервалах разделяемых критическими точками: - Интервал \((-\infty, -5)\) - Интервал \((-5, -1)\) - Интервал \((-1, \infty)\) Подставим значения для проверки: Для \(x = -6\) (в интервале \((-\infty, -5)\)): \(y'(-6) = 3(-6)^2 + 18(-6) + 15 = 108 - 108 + 15 = 15\) (Положительное - функция возрастает) Для \(x = -3\) (в интервале \((-5, -1)\)): \(y'(-3) = 3(-3)^2 + 18(-3) + 15 = 27 - 54 + 15 = -12\) (Отрицательное - функция убывает) Для \(x = 0\) (в интервале \((-1, \infty)\)): \(y'(0) = 3(0)^2 + 18(0) + 15 = 15\) (Положительное - функция возрастает)

4. Нахождение второй производной \(y''\)

Для определения точек перегиба и интервалов выпуклости и вогнутости функции: \(y''(x) = \frac{d}{dx}(3x^2 + 18x + 15)\) \(y''(x) = 6x + 18\)

5. Нахождение точек перегиба

Решим уравнение \(y''(x) = 0\): \(6x + 18 = 0\) \(x = -3\)

6. Определение интервалов выпуклости и вогнутости

Проверим знаки второй производной на интервалах: - Интервал \((-\infty, -3)\) - Интервал \((-3, \infty)\) Для \(x = -4\) (в интервале \((-\infty, -3)\)): \(y''(-4) = 6(-4) + 18 = -24 + 18 = -6\) (Отрицательное - вогнутость) Для \(x = -2\) (в интервале \((-3, \infty)\)): \(y''(-2) = 6(-2) + 18 = -12 + 18 = 6\) (Положительное - выпуклость)

7. Определим значения функции в важных точках

• \(y(-5)\)
• \(y(-3)\)
• \(y(-1)\)

\[ y(-5) = (-5)^3 + 9(-5)^2 + 15(-5) + 11 = -125 + 225 - 75 + 11 = 36 \]

\[ y(-3) = (-3)^3 + 9(-3)^2 + 15(-3) + 11 = -27 + 81 - 45 + 11 = 20 \]

\[ y(-1) = (-1)^3 + 9(-1)^2 + 15(-1) + 11 = -1 + 9 - 15 + 11 = 4 \]

8. Построение графика

Используя найденные критические точки, точки перегиба и рассчитанные значения функции в этих точках, можно построить график функции. Особые точки: - Точки экстремума: \((-5, 36)\) и \((-1, 4)\) - Точка перегиба: \((-3, 20)\) На графике нужно отметить эти точки и нарисовать поведение функции в указанных интервалах.

Итог

График функции покажет правильное расположение и свойства функции, как возрастание/убывание и выпуклость/вогнутость на различных интервалах. Убедитесь, что точки экстремума и точка перегиба правильно отмечены на графике.