Для данной функции f(x,y) найти вектор градиента функции в точке М (1;1); и величину найденного градиента.

Эта задача относится к курсу математического анализа, разделу, связанному с многомерным анализом, в частности, нахождению градиента функции.

Шаг 1: Запись функции

Дана функция: \[ f(x, y) = \frac{x}{\sqrt{11x + 5y}} \]

Шаг 2: Нахождение частных производных

Частная производная по \(x\):

Используем правило частного и цепное правило для нахождения производной: \[ f(x, y) = \frac{u}{v}, \text{ где } u = x, v = \sqrt{11x + 5y} \]

Используем производную частного: \[ \frac{d}{dx} \left( \frac{u}{v} \right) = \frac{u'v - uv'}{v^2} \]

Пусть \( u = x \Rightarrow u' = 1 \)
Пусть \( v = \sqrt{11x + 5y} \Rightarrow v' = \frac{11}{2\sqrt{11x + 5y}} \)

Заменим всё это в формулу: \[ f_x = \frac{(1) \cdot \sqrt{11x + 5y} - x \cdot \frac{11}{2\sqrt{11x + 5y}}}{(\sqrt{11x + 5y})^2} \]

Упрощаем: \[ f_x = \frac{\sqrt{11x + 5y} - \frac{11x}{2\sqrt{11x + 5y}}}{11x + 5y} \]

\[ f_x = \frac{2(11x + 5y) - 11x}{2(11x + 5y)\sqrt{11x + 5y}} \]

\[ f_x = \frac{22x + 10y - 11x}{2(11x + 5y)\sqrt{11x + 5y}} \]

\[ f_x = \frac{11x + 10y}{2(11x + 5y)\sqrt{11x + 5y}} \]

В точке (1, 1):

\[ f_x(1, 1) = \frac{11(1) + 10(1)}{2(11(1) + 5(1))\sqrt{11(1) + 5(1)}} \]

\[ f_x(1, 1) = \frac{11 + 10}{2(11 + 5)\sqrt{11 + 5}} \]

\[ f_x(1, 1) = \frac{21}{2 \cdot 16 \cdot 4} \]

\[ f_x(1, 1) = \frac{21}{128} \]

Частная производная по \( y \):

Аналогично находим производную по \( y \): \[ f(x, y) = \frac{x}{\sqrt{11x + 5y}} \]

Используем цепное правило: \[ u = x \text{ и } v = \sqrt{11x + 5y} \]

Находим производную: \[ \frac{d}{dy} \left( \frac{u}{v} \right) = \frac{x \cdot (-\frac{5}{2\sqrt{11x+5y}})}{11x + 5y} \]

\[ f_y = \frac{-5x}{2(11x + 5y)\sqrt{11x + 5y}} \]

В точке (1, 1):

\[ f_y(1, 1) = \frac{-5(1)}{2(11 + 5)\sqrt{11 + 5}} \]

\[ f_y(1, 1) = \frac{-5}{2 \cdot 16 \cdot 4} \]

\[ f_y(1, 1) = \frac{-5}{128} \]

Шаг 3: Вектор градиента

Теперь мы знаем, что: \[ \nabla f(1, 1) = \left( \frac{21}{128}, \frac{-5}{128} \right) \]

Шаг 4: Нахождение величины градиента

\[ |\nabla f(1, 1)| = \sqrt{\left( \frac{21}{128} \right)^2 + \left( \frac{-5}{128} \right)^2 } \]

\[ |\нabla f (1, 1)| = \sqrt{ \frac{441}{16384} + \frac{25}{16384} } \]

\[ |\nabla f (1, 1)| = \sqrt{ \frac{466}{16384} } \]

\[ |\nабла f(1, 1)| = \frac{\sqrt{466}}{128} \]

Заключение

• Вектор градиента функции \( f(x, y) \) в точке \( (1, 1) \) равняется \( \left( \frac{21}{128}, \frac{-5}{128} \right) \).
• Величина градиента равна \( \frac{\sqrt{466}}{128} \).