Длина дуги кривой, заданной параметрически

Это задание относится к предмету "Математика", разделу "Математический анализ" — тема "Длина дуги кривой, заданной параметрически".

Постановка задачи:

Заданы уравнения кривой:

\[ x = e^t (\cos t + \sin t), \]
\[ y = e^t (\cos t - \sin t), \]

на отрезке \( \frac{\pi}{2} \leq t \leq \pi \). Нужно вычислить длину дуги этой кривой на заданном отрезке.

Шаг 1: Формула для длины дуги параметрической кривой

Если кривая задана параметрически функциями \( x(t) \) и \( y(t) \), то длина дуги вычисляется по формуле:

\[ L = \int_a^b \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} \, dt. \]

Шаг 2: Найдем производные \( \frac{dx}{dt} \) и \( \frac{dy}{dt} \)

Производная \( \frac{dx}{dt} \):

\[ x(t) = e^t (\cos t + \sin t). \]

Применим правило произведения для нахождения производной:

\[ \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt} \left(e^t (\cos t + \sin t)\right). \]

Для этого используем правило Лейбница:

\[ \frac{dx}{dt} = e^t \cdot \frac{d}{dt} (\cos t + \sin t) + (\cos t + \sin t) \cdot \frac{d}{dt}(e^t). \]

\[ \frac{d}{dt} (\cos t + \sin t) = -\sin t + \cos t, \quad \frac{d}{dt}(e^t) = e^t. \]

Подставляем эти значения:

\[ \frac{dx}{dt} = e^t (-\sin t + \cos t) + e^t (\cos t + \sin t). \]

Теперь приведем подобные слагаемые:

\[ \frac{dx}{dt} = e^t [(-\sin t + \cos t) + (\cos t + \sin t)] = e^t [2 \cos t]. \]

Итак, получилось:

\[ \frac{dx}{dt} = 2e^t \cos t. \]

Производная \( \frac{dy}{dt} \):

\[ y(t) = e^t (\cos t - \sin t). \]

Производную находим аналогично:

\[ \frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt} \left(e^t (\cos t - \sin t)\right). \]

Применяем правило Лейбница:

\[ \frac{dy}{dt} = e^t \cdot \frac{d}{dt}(\cos t - \sin t) + (\cos t - \sin t) \cdot \frac{d}{dt}(e^t). \]

\[ \frac{d}{dt} (\cos t - \sin t) = -\sin t - \cos t. \]

Подставляем:

\[ \frac{dy}{dt} = e^t (-\sin t - \cos t) + e^t (\cos t - \sin t). \]

Приводим подобные слагаемые:

\[ \frac{dy}{dt} = e^t [(-\sin t - \cos t) + (\cos t - \sin t)] = e^t [-2 \sin t]. \]

Получаем:

\[ \frac{dy}{dt} = -2e^t \sin t. \]

Шаг 3: Подставим производные в формулу длины дуги

Теперь можем подставить производные в формулу для длины дуги:

\[ L = \int_{\pi/2}^{\pi} \sqrt{(2e^t \cos t)^2 + (-2e^t \sin t)^2} \, dt. \]

Раскроем квадраты:

\[ L = \int_{\pi/2}^{\pi} \sqrt{4e^{2t} \cos^2 t + 4e^{2t} \sin^2 t} \, dt. \]

Вынесем общий множитель:

\[ L = \int_{\pi/2}^{\pi} \sqrt{4e^{2t} (\cos^2 t + \sin^2 t)} \, dt. \]

Так как \( \cos^2 t + \sin^2 t = 1 \), получаем:

\[ L = \int_{\pi/2}^{\pi} \sqrt{4e^{2t}} \, dt = \int_{\pi/2}^{\pi} 2e^t \, dt. \]

Шаг 4: Вычислим интеграл

\[ L = 2 \int_{\pi/2}^{\pi} e^t \, dt. \]

Вычислим интеграл:

\[ \int e^t \, dt = e^t. \]

Поэтому:

\[ L = 2 \left[e^t \right]_{\pi/2}^{\pi}. \]

\[ L = 2(e^{\pi} - e^{\pi/2}). \]

Ответ:

\[ L = 2(e^{\pi} - e^{\pi/2}). \]

Подставим пределы: