Дать определение двойного интеграла и среднего значения двойного интеграла

Предмет: Математика

Раздел: Кратные интегралы, криволинейные интегралы, теория поля

Начнем с первого задания из модуля 1.

Задача 1. Дать определение двойного интеграла и среднего значения двойного интеграла.

1. Определение двойного интеграла:
   Пусть функция f(x, y) задана и непрерывна на некоторой замкнутой области D на плоскости Oxy. Тогда двойным интегралом функции f(x, y) по области D называется предел суммы вида:

    \iint\limits_{D} f(x, y) \,dx\,dy = \lim_{\Delta x, \Delta y \to 0} \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{n} f(x_{ij}, y_{ij}) \Delta x \Delta y, 

   где (x_{ij}, y_{ij}) — точки разбиения области D на малые элементы площади \Delta S = \Delta x \Delta y.

2. Среднее значение двойного интеграла:
   Средним значением функции f(x, y) по области D называется величина:

    f_{\text{ср}} = \frac{1}{S(D)} \iint\limits_{D} f(x, y) \,dx\,dy, 

   где S(D) — площадь области D, которая вычисляется как:

    S(D) = \iint\limits_{D} 1 \,dx\,dy. 

Задача 2. Перейти к сферическим координатам.

Областью интегрирования является тело, ограниченное конусом x^2 + y^2 = z^2 и сферой x^2 + y^2 + z^2 = 1. Перейдем к сферическим координатам.

1. Связь декартовых и сферических координат:  x = \rho \sin\phi \cos\theta, \quad y = \rho \sin\phi \sin\theta, \quad z = \rho \cos\phi,  где:

   • \rho — радиус-вектор (расстояние от начала координат),
   • \phi — угол между радиус-вектором и осью Oz,
   • \theta — азимутальный угол (угол в плоскости Oxy).

2. Якобиан перехода в сферические координаты равен:  J = \rho^2 \sin\phi. 

3. Уравнения в сферических координатах:

   • Конус x^2 + y^2 = z^2:
      \tan\phi = 1 \quad \Rightarrow \quad \phi = \frac{\pi}{4}. 
   • Сфера x^2 + y^2 + z^2 = 1:
      \rho = 1. 

4. Интегрирование в сферических координатах:
   Область интегрирования:

   • \rho \in [0, 1],
   • \phi \in [0, \pi/4],
   • \theta \in [0, 2\pi].

5. Двойной интеграл преобразуется в тройной:  \iiint\limits_{D} f(x, y, z) \,dx\,dy\,dz = \int\limits_{0}^{2\pi} \int\limits_{0}^{\pi/4} \int\limits_{0}^{1} f(\rho \sin\phi \cos\theta, \rho \sin\phi \sin\theta, \rho \cos\phi) \rho^2 \sin\phi \,d\rho\,d\phi\,d\theta. 

Если требуется решение других задач, уточните, и я продолжу!