Дана функция, найти 1)область ее определения

Разбор задания:

Данная задача относится к предмету математика, раздел математический анализ.

Шаг 1. Найти область определения функции

Функция задана как логарифмическая: \( y = \ln(x^2 + 2x + 2) \). Логарифм определён только для положительного значения подлогарифмического выражения. Значит, нужно решить неравенство: \[ x^2 + 2x + 2 > 0. \]

Рассмотрим дискриминант квадратного трёхчлена: \[ D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 - 8 = -4. \]

Дискриминант отрицателен, поэтому квадратный трёхчлен \( x^2 + 2x + 2 \) всегда положителен.

Следовательно, область определения функции: \[ x \in (-\infty, +\infty). \]

Шаг 2. Найти точки разрыва и односторонние пределы

Так как функция определена на всей числовой прямой и подлогарифмическое выражение не обращается в ноль или отрицательные значения, разрывов у функции нет.

Шаг 3. Найти точки экстремума

Чтобы найти экстремумы, найдём производную функции: \[ y' = \frac{d}{dx}\ln(x^2 + 2x + 2) = \frac{1}{x^2 + 2x + 2} \cdot (2x + 2) = \frac{2(x + 1)}{x^2 + 2x + 2}. \]

Найдём критические точки: \[ y' = 0 \implies 2(x + 1) = 0 \implies x = -1. \]

Теперь исследуем знак производной: \[ y' = \frac{2(x + 1)}{x^2 + 2x + 2}. \]

• Знаменатель \( x^2 + 2x + 2 > 0 \) на всей числовой прямой.
• Числитель \( 2(x + 1) \) меняет знак в точке \( x = -1 \).

Знаки производной:

• При \( x < -1 \): \( y' < 0 \), функция убывает.
• При \( x > -1 \): \( y' > 0 \), функция возрастает.

Таким образом, \( x = -1 \) — это точка минимума. Значение функции в этой точке: \[ y(-1) = \ln((-1)^2 + 2(-1) + 2) = \ln(1) = 0. \]

Итак, минимум: \( (-1, 0) \).

Шаг 4. Найти точки перегиба и асимптоты

Для нахождения точек перегиба найдём вторую производную: \[ y'' = \frac{d}{dx}\left(\frac{2(x+1)}{x^2 + 2x + 2}\right). \]

Применим правило дифференцирования дроби: \[ y'' = \frac{(2)(x^2 + 2x + 2) - 2(x+1)(2x + 2)}{(x^2 + 2x + 2)^2}. \]

В числителе после упрощения имеем: \[ 2(x^2 + 2x + 2) - 2(x+1)(2x + 2) = 2(x^2 + 2x + 2) - 2(2x^2 + 4x + 2) = 2x^2 + 4x + 4 - 4x^2 - 8x - 4 = -2x^2 - 4x. \]

Тогда вторая производная: \[ y'' = \frac{-2x(x + 2)}{(x^2 + 2x + 2)^2}. \]

Найдём точки перегиба, приравняв \( y'' \) к нулю: \[ -2x(x + 2) = 0 \implies x = 0 \quad \text{или} \quad x = -2. \]

Проверяем изменение знака \( y'' \) в окрестности этих точек:

• При \( x \in (-\infty, -2) \): \( y'' > 0 \) (вогнутость вверх).
• При \( x \in (-2, 0) \): \( y'' < 0 \) (вогнутость вниз).
• При \( x \in (0, +\infty) \): \( y'' > 0 \) (вогнутость вверх).

Таким образом, точки перегиба: \( x = -2 \) и \( x = 0 \).

Асимптоты

Так как функция определена на всей числовой прямой, вертикальных асимптот нет. Также \( \lim\limits_{x \to \pm\infty} \ln(x^2 + 2x + 2) = \ln(x^2) = 2\ln|x| \), поэтому наклонных асимптот также нет.

Шаг 5. Построить график функции

• Область определения: \( x \in (-\infty, +\infty) \).
• Точка минимума: \( (-1, 0) \).
• Точки перегиба: \( (-2, y(-2)) \) и \( (0, y(0)) \).
• На \( (-\infty, -2) \) и \( (0, +\infty) \) функция выпуклая вверх, а на \( (-2, 0) \) — вниз.

График функции \(\ y = \ln(x^2 + 2x + 2) \):