Численно вычислить интеграл по формуле центральных прямоугольников с использованием метода, заданного для количества разбиений

Предмет: Математика

Раздел: Численное интегрирование

Задача состоит в том, чтобы численно вычислить интеграл по формуле центральных прямоугольников с использованием метода, заданного для количества разбиений \(n = 12\) и \(n = 6\).

Дан интеграл: \[ \int_0^1 \frac{dx}{1+x} \]

Шаг 1: Формула метода центральных прямоугольников

Формула для числа \( n \) разбиений по методу центральных прямоугольников записывается следующим образом:

\[ I_n \approx \Delta x \sum_{i=1}^{n} f\left(x_i^*\right) \]

где:

• \( \Delta x = \frac{b - a}{n} \) — это шаг разбиения;
• \( x_i^* = \frac{x_{i-1} + x_i}{2} \) — середина каждого интервала;
• \( f(x) = \frac{1}{1+x} \).

Для данной задачи: \( a = 0 \), \( b = 1 \), \( f(x) = \frac{1}{1+x} \).

Шаг 2: Вычисление для \( n=12 \)

1. Шаг разбиения:

   \[ \Delta x = \frac{1 - 0}{12} = \frac{1}{12} \]

2. Определим точки посредине каждого интервала: Точки находятся как середины отрезков \( \left( \frac{i-1}{12}, \frac{i}{12} \right) \):

   \[ x_i^* = \frac{2i - 1}{24}, \quad i=1, 2, ..., 12 \]

3. Считаем функцию для каждой точки \( x_i^* \):

   \[ f(x_i^*) = \frac{1}{1 + x_i^*} = \frac{1}{1 + \frac{2i-1}{24}} \]

   Тогда вычисляем сумму значений функций:

   \[ S_{12} = \sum_{i=1}^{12} \frac{1}{1+\frac{2i-1}{24}} \]

4. Умножим сумму на шаг разбиения \( \Delta x \):

   \[ I_{12} \approx \Delta x \cdot S_{12} = \frac{1}{12} \cdot S_{12} \]

Шаг 3: Вычисление для \( n=6 \)

1. Шаг разбиения:

   \[ \Delta x = \frac{1 - 0}{6} = \frac{1}{6} \]

2. Определим точки посредине каждого интервала:

   \[ x_i^* = \frac{2i - 1}{12}, \quad i=1, 2, ..., 6 \]

3. Считаем функцию для каждой точки \( x_i^* \):

   \[ f(x_i^*) = \frac{1}{1 + x_i^*} = \frac{1}{1 + \frac{2i-1}{12}} \]

   Теперь вычисляем сумму:

   \[ S_{6} = \sum_{i=1}^{6} \frac{1}{1+\frac{2i-1}{12}} \]

4. Умножим на шаг разбиения:

   \[ I_{6} \approx \Delta x \cdot S_{6} = \frac{1}{6} \cdot S_{6} \]

Шаг 4: Найти значения \( I_{12}, I_{6} \) и оценить ошибку

Теперь численно вычислим интегралы при \(n = 12\) и \(n = 6\), и по методике оценим погрешность. На заключительном этапе введём значение интеграла для \(n = 12\) с точностью до трёх знаков и погрешность.