Вычислить площадь части поверхности, заданной уравнением

Предмет: Математика

Раздел: Дифференциальная геометрия, вычисление площади поверхности

Нам нужно вычислить площадь части поверхности, заданной уравнением:
z^2 = x^2 + y^2,
вырезаемой цилиндрической поверхностью:
(x+1)^2 + (y+1)^2 = 2.

Шаг 1: Выразим площадь поверхности через интеграл

Площадь поверхности, заданной уравнением z = f(x, y), вычисляется по формуле:
 S = \iint\limits_D \sqrt{1 + \left( \frac{\partial z}{\partial x} \right)^2 + \left( \frac{\partial z}{\partial y} \right)^2} \,dx\,dy. 

Функция поверхности:
z = \sqrt{x^2 + y^2}.

Частные производные:
 \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}, \quad \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}}. 

Подставляем в корень:
 1 + \left( \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}} \right)^2 + \left( \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}} \right)^2 = 1 + \frac{x^2 + y^2}{x^2 + y^2} = 2. 

То есть подынтегральная функция упрощается:
\sqrt{2}.

Шаг 2: Переход к полярным координатам

Цилиндрическое уравнение (x+1)^2 + (y+1)^2 = 2 описывает окружность с центром в точке (-1, -1) и радиусом \sqrt{2}.

Переходим в полярные координаты:
 x = r\cos\theta, \quad y = r\sin\theta. 

Центр окружности сдвинут, поэтому используем замену:
 (x+1)^2 + (y+1)^2 = 2. 

В полярных координатах это:
 r^2 + 2r\cos(\theta) + 1 + r^2 + 2r\sin(\theta) + 1 = 2. 

Упрощаем:
 2r^2 + 2r(\cos\theta + \sin\theta) + 2 = 2. 

Отсюда:
 r^2 + r(\cos\theta + \sin\theta) = 0. 

Так как r \neq 0, получаем:
 r = -(\cos\theta + \sin\theta). 

Но так как радиус окружности \sqrt{2}, границы интегрирования по r от 0 до \sqrt{2}.

Шаг 3: Вычисление интеграла

Якобиан перехода в полярные координаты:
dx dy = r dr d\theta.

Интеграл принимает вид:
 S = \int\limits_0^{2\pi} \int\limits_0^{\sqrt{2}} \sqrt{2} \cdot r \, dr \, d\theta. 

Вычисляем внутренний интеграл:
 \int\limits_0^{\sqrt{2}} \sqrt{2} \cdot r \, dr = \sqrt{2} \cdot \frac{r^2}{2} \Big|_0^{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \cdot \frac{2}{2} = \sqrt{2}. 

Теперь внешний интеграл:
 S = \sqrt{2} \int\limits_0^{2\pi} d\theta = \sqrt{2} \cdot 2\pi = 2\pi\sqrt{2}. 

Ответ:

S = 2\pi\sqrt{2}.