Тригонометрия прямоугольного треугольника

Предмет: Геометрия

Раздел: Тригонометрия прямоугольного треугольника

Дано:
В прямоугольном треугольнике катет, противолежащий углу 30^\circ, равен 5 см.

Необходимо найти:

1. Второй катет и гипотенузу.
2. Тангенс обоих острых углов.
3. Высоту, проведенную из вершины прямого угла на гипотенузу.

Решение:

1. Найдём гипотенузу и второй катет

Из свойства прямоугольного треугольника с углом 30^\circ известно, что катет, лежащий напротив этого угла, равен половине гипотенузы:
c = 2 \cdot a = 2 \cdot 5 = 10 см.

Второй катет можно найти по теореме Пифагора:
b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{10^2 - 5^2} = \sqrt{100 - 25} = \sqrt{75} = 5\sqrt{3} см.

2. Тангенсы острых углов

Тангенс угла 30^\circ:
\tan 30^\circ = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{5}{5\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}.

Тангенс угла 60^\circ:
\tan 60^\circ = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{5\sqrt{3}}{5} = \sqrt{3}.

3. Высота, проведённая из вершины прямого угла на гипотенузу

Формула для высоты в прямоугольном треугольнике:
h = \frac{a \cdot b}{c}.

Подставляем значения:
h = \frac{5 \cdot 5\sqrt{3}}{10} = \frac{25\sqrt{3}}{10} = \frac{5\sqrt{3}}{2} см.

Ответ:

1. Второй катет: 5\sqrt{3} см, гипотенуза: 10 см.
2. \tan 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}, \tan 60^\circ = \sqrt{3}.
3. Высота: \frac{5\sqrt{3}}{2} см.