Тригонометрия прямоугольного треугольника

Предмет: Геометрия

Раздел: Тригонометрия прямоугольного треугольника

Дано:
В прямоугольном треугольнике катет, противолежащий углу ${30}^{\circ }$, равен $5$ см.

Необходимо найти:

1. Второй катет и гипотенузу.
2. Тангенс обоих острых углов.
3. Высоту, проведенную из вершины прямого угла на гипотенузу.

Решение:

1. Найдём гипотенузу и второй катет

Из свойства прямоугольного треугольника с углом ${30}^{\circ }$ известно, что катет, лежащий напротив этого угла, равен половине гипотенузы:
$c=2\cdot a=2\cdot 5=10$ см.

Второй катет можно найти по теореме Пифагора:
$b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{{10}^2-5^2}=\sqrt{100-25}=\sqrt{75}=5\sqrt{3}$ см.

2. Тангенсы острых углов

Тангенс угла ${30}^{\circ }$:
$\tan {30}^{\circ }=\frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}}=\frac{5}{5\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Тангенс угла ${60}^{\circ }$:
$\tan {60}^{\circ }=\frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}}=\frac{5\sqrt{3}}{5}=\sqrt{3}$.

3. Высота, проведённая из вершины прямого угла на гипотенузу

Формула для высоты в прямоугольном треугольнике:
$h=\frac{a\cdot b}{c}$.

Подставляем значения:
$h=\frac{5\cdot 5\sqrt{3}}{10}=\frac{25\sqrt{3}}{10}=\frac{5\sqrt{3}}{2}$ см.

Ответ:

1. Второй катет: $5\sqrt{3}$ см, гипотенуза: $10$ см.
2. $\tan {30}^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{3}$, $\tan {60}^{\circ }=\sqrt{3}$.
3. Высота: $\frac{5\sqrt{3}}{2}$ см.