Определить какие из следующих равенств являются правильными для любого прямоугольного треугольника

Предмет: Геометрия

Раздел: Прямоугольные треугольники, тригонометрические функции

Рассмотрим каждый из вопросов по порядку.

Задание 10

Какие из следующих равенств являются правильными для любого прямоугольного треугольника?

Даны варианты:
a) \sin \alpha = \cos \alpha
b) \sin \alpha = \cos \beta
c) \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1
d) \sin \alpha + \cos^2 \alpha = 1

Решение:

• Вариант a) Неверно. В общем случае \sin \alpha \neq \cos \alpha. Это верно только при \alpha = 45^\circ.
• Вариант b) Верно. В прямоугольном треугольнике углы \alpha и \beta дополняют друг друга до 90^\circ, поэтому \sin \alpha = \cos \beta.
• Вариант c) Верно. Это основное тригонометрическое тождество:
  \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1.
• Вариант d) Неверно. В общем случае \sin \alpha + \cos^2 \alpha \neq 1.

Ответ: b, c

Задание 11

В прямоугольном треугольнике катет, который лежит напротив угла 45^\circ, равен:

a) Половине гипотенузы
b) Гипотенузе
c) Половине другого катета
d) Другому катету

Решение:

Если угол 45^\circ, то треугольник является равнобедренным (т.к. сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90^\circ).
В таком треугольнике катеты равны, а гипотенуза выражается через катет как:

c = a\sqrt{2}, где a — катет.

Следовательно, катет напротив угла 45^\circ равен другому катету.

Ответ: d (Другому катету)

Задание 12

Если в прямоугольном треугольнике один катет равен 6 см, а прилежащий угол 30^\circ, то другой катет равен:

a) 8.3 см
b) 15 см
c) 12 см
d) 4\sqrt{2} см

Решение:

Используем соотношение для прямоугольного треугольника:

\tan 30^\circ = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}}

Значение \tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}. Пусть второй катет x, тогда:

\frac{x}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}}

Умножаем обе части на 6:

x = \frac{6}{\sqrt{3}}

Умножаем числитель и знаменатель на \sqrt{3}:

x = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}

Приблизительно:

2\sqrt{3} \approx 3.46

Такого варианта нет, возможно, ошибка в условиях. Если бы был другой катет, равный 12 см, то это соответствовало бы правильному ответу.

Ответ: Ошибка в вариантах, но правильный ответ — 2\sqrt{3} ≈ 3.46 см.