Найти такие стороны равнобедренного треугольника с периметром

Предмет: Математика
Раздел: Геометрия (объем тел вращения)

Рассмотрим задачу №8. Нам нужно найти такие стороны равнобедренного треугольника с периметром (2p), чтобы объем тела, образованного вращением треугольника вокруг его основания, был максимальным. Формула объема будет использовать формулу объема конуса.

Шаг 1: Определение параметров треугольника

Пусть равнобедренный треугольник имеет основание (2a) и боковые стороны (b). Так как периметр равен (2p), имеем: 2a + 2b = 2p,
откуда: a + b = p.

Шаг 2: Формула объема тела вращения

При вращении треугольника вокруг основания образуется конус. Формула объема конуса: V = \frac{1}{3} \pi R^2 h,
где:

• (R = a) — радиус основания (половина длины основания треугольника),
• (h) — высота треугольника.

Шаг 3: Выражение высоты через стороны треугольника

Высота (h) равнобедренного треугольника может быть найдена через теорему Пифагора: h = \sqrt{b^2 - a^2}.

Шаг 4: Формула объема через (a) и (b)

Подставим (R = a) и (h = \sqrt{b^2 - a^2}) в формулу объема: V = \frac{1}{3} \pi a^2 \sqrt{b^2 - a^2}.

Шаг 5: Выражение (b) через (a)

Из условия (a + b = p) выражаем (b): b = p - a.

Подставим это в формулу объема: V = \frac{1}{3} \pi a^2 \sqrt{(p - a)^2 - a^2}.

Раскроем скобки под корнем: V = \frac{1}{3} \pi a^2 \sqrt{p^2 - 2pa + a^2 - a^2} = \frac{1}{3} \pi a^2 \sqrt{p^2 - 2pa}.

Шаг 6: Оптимизация объема

Для максимизации объема найдем производную (V) по (a) и приравняем её к нулю.

Обозначим: V(a) = \frac{1}{3} \pi a^2 \sqrt{p^2 - 2pa}.

Производная: \frac{dV}{da} = \frac{1}{3} \pi \left(2a \sqrt{p^2 - 2pa} + a^2 \cdot \frac{-p}{\sqrt{p^2 - 2pa}}\right).

Приравняем к нулю: 2a \sqrt{p^2 - 2pa} = \frac{a^2 p}{\sqrt{p^2 - 2pa}}.

Упростим: 2 \sqrt{p^2 - 2pa} = \frac{a p}{\sqrt{p^2 - 2pa}}.

Умножим обе стороны на (\sqrt{p^2 - 2pa}): 2(p^2 - 2pa) = ap.

Раскроем скобки: 2p^2 - 4pa = ap.

Соберем подобные: 2p^2 = 5pa.

Найдём (a): a = \frac{2p^2}{5p} = \frac{2p}{5}.

Шаг 7: Найдем (b)

Подставим (a = \frac{2p}{5}) в (b = p - a): b = p - \frac{2p}{5} = \frac{3p}{5}.

Ответ:

Стороны треугольника:

• Основание: 2a = \frac{4p}{5},
• Боковые стороны: b = \frac{3p}{5}.

При этих значениях объем тела вращения будет максимальным.