Найти площадь треугольника, если гипотенуза равна c

Предмет: Геометрия
Раздел: Планиметрия, свойства прямоугольного треугольника

Условие задачи:

Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен r. Найти площадь треугольника, если гипотенуза равна c.

Решение:

1. Формула радиуса вписанной окружности в прямоугольный треугольник:

   Радиус вписанной окружности r выражается через стороны треугольника a, b (катеты) и c (гипотенуза) как: r = \frac{a + b - c}{2}.

2. Площадь прямоугольного треугольника:

   Площадь прямоугольного треугольника равна: S = \frac{1}{2} a b.

3. Выражение площади через радиус вписанной окружности:

   Площадь треугольника также можно выразить через радиус вписанной окружности r и полупериметр p, где: p = \frac{a + b + c}{2}. Тогда: S = r \cdot p.

4. Выразим полупериметр через r и c:

   Подставим p = \frac{a + b + c}{2} в формулу радиуса: r = \frac{a + b - c}{2}. Отсюда: a + b = 2r + c.

   Тогда полупериметр: p = \frac{(a + b) + c}{2} = \frac{(2r + c) + c}{2} = r + c.

5. Итоговая формула площади:

   Подставим p = r + c в формулу S = r \cdot p: S = r \cdot (r + c).

Ответ:

Площадь треугольника равна: S = r \cdot (r + c).