Найти площадь грани

Предмет: Геометрия

Раздел: Векторная геометрия в пространстве

Задание: Найти площадь грани ( A_1A_2A_3 ).

Вершины пирамиды даны:

• ( A_1(0; -1; 2) ),
• ( A_2(-1; -1; 6) ),
• ( A_3(-2; 0; 2) ),
• ( A_4(0; 1; 4) ).

Для нахождения площади треугольника ( A_1A_2A_3 ) воспользуемся формулой для площади треугольника, заданного тремя точками в пространстве.

Формула площади треугольника:

Площадь треугольника равна половине модуля векторного произведения двух векторов, образованных его сторонами:  S = \frac{1}{2} \| \vec{A_1A_2} \times \vec{A_1A_3} \| 

Шаг 1: Найдём векторы ( \vec{A_1A_2} ) и ( \vec{A_1A_3} ).

Вектор ( \vec{A_1A_2} ):  \vec{A_1A_2} = A_2 - A_1 = (-1 - 0; -1 - (-1); 6 - 2) = (-1; 0; 4). 

Вектор ( \vec{A_1A_3} ):  \vec{A_1A_3} = A_3 - A_1 = (-2 - 0; 0 - (-1); 2 - 2) = (-2; 1; 0). 

Шаг 2: Найдём векторное произведение ( \vec{A_1A_2} \times \vec{A_1A_3} ).

Векторное произведение двух векторов ( \vec{u}(u_1, u_2, u_3) ) и ( \vec{v}(v_1, v_2, v_3) ) вычисляется по формуле:
 \vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \ u_1 & u_2 & u_3 \ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix},  где ( \vec{i}, \vec{j}, \vec{k} ) — орты координатных осей.

Подставим координаты векторов ( \vec{A_1A_2}(-1; 0; 4) ) и ( \vec{A_1A_3}(-2; 1; 0) ):
 \vec{A_1A_2} \times \vec{A_1A_3} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \ -1 & 0 & 4 \ -2 & 1 & 0 \end{vmatrix}. 

Раскроем определитель:
 \vec{A_1A_2} \times \vec{A_1A_3} = \vec{i} \begin{vmatrix} 0 & 4 \ 1 & 0 \end{vmatrix} - \vec{j} \begin{vmatrix} -1 & 4 \ -2 & 0 \end{vmatrix} + \vec{k} \begin{vmatrix} -1 & 0 \ -2 & 1 \end{vmatrix}. 

Вычислим миноры:

1. Для ( \vec{i} ):
    \begin{vmatrix} 0 & 4 \ 1 & 0 \end{vmatrix} = (0 \cdot 0 - 4 \cdot 1) = -4. 

2. Для ( \vec{j} ):
    \begin{vmatrix} -1 & 4 \ -2 & 0 \end{vmatrix} = (-1 \cdot 0 - 4 \cdot (-2)) = 8. 

3. Для ( \vec{k} ):
    \begin{vmatrix} -1 & 0 \ -2 & 1 \end{vmatrix} = (-1 \cdot 1 - 0 \cdot (-2)) = -1. 

Подставим значения:
 \vec{A_1A_2} \times \vec{A_1A_3} = -4\vec{i} - 8\vec{j} - \vec{k}. 

Или в координатной форме:
 \vec{A_1A_2} \times \vec{A_1A_3} = (-4; -8; -1). 

Шаг 3: Найдём модуль векторного произведения.

Модуль вектора ( \vec{v}(v_1, v_2, v_3) ) вычисляется как:
 \|\vec{v}\| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2}. 

Подставим координаты:
 \| \vec{A_1A_2} \times \vec{A_1A_3} \| = \sqrt{(-4)^2 + (-8)^2 + (-1)^2} = \sqrt{16 + 64 + 1} = \sqrt{81} = 9. 

Шаг 4: Найдём площадь треугольника.

 S = \frac{1}{2} \| \vec{A_1A_2} \times \vec{A_1A_3} \| = \frac{1}{2} \cdot 9 = 4.5. 

Ответ:

Площадь грани ( A_1A_2A_3 ) равна 4.5 квадратных единиц.