Найти Площадь боковой поверхности и Площадь всей поверхности

Предмет: Математика
Раздел: Геометрия, стереометрия (поверхности конуса)

Даны точки:
A (1;0;1)
B (3;-2;2)
C (2;2;3)
D (3;1;-1)

Также дан конус с радиусом основания
R = 3 \sqrt{2} \text{ м}
и высотой
h = 9 \text{ м}.

Задача: Найти площадь боковой поверхности и площадь всей поверхности конуса.

Решение:

1. Площадь боковой поверхности конуса

Формула площади боковой поверхности конуса:

S_{\text{бок}} = \pi R l,

где l — образующая конуса.

Образующая вычисляется по теореме Пифагора:

l = \sqrt{h^2 + R^2}.

Подставим значения:

R = 3 \sqrt{2}
h = 9.

Вычислим R^2:

R^2 = (3 \sqrt{2})^2 = 9 \times 2 = 18.

Вычислим l:

l = \sqrt{9^2 + 18} = \sqrt{81 + 18} = \sqrt{99} = 3 \sqrt{11}.

Теперь площадь боковой поверхности:

S_{\text{бок}} = \pi \times 3 \sqrt{2} \times 3 \sqrt{11} = 9 \pi \sqrt{22}.

2. Площадь полной поверхности конуса

Площадь полной поверхности — это сумма площади основания и площади боковой поверхности:

S_{\text{полная}} = S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}}.

Площадь основания — круг с радиусом R:

S_{\text{осн}} = \pi R^2 = \pi \times 18 = 18 \pi.

Итого:

S_{\text{полная}} = 18 \pi + 9 \pi \sqrt{22} = \pi (18 + 9 \sqrt{22}).

Ответ:

 \begin{cases} S_{\text{бок}} = 9 \pi \sqrt{22} \text{ м}^2 \ S_{\text{полная}} = \pi (18 + 9 \sqrt{22}) \text{ м}^2 \end{cases}