Найти длины сторон AB, BC, AC

Предмет: Математика
Раздел: Аналитическая геометрия

Дано три точки:
A(2, -1, -3),
B(0, 0, 0),
C(5, -1, -1).

Требуется:

1. Найти длины сторон AB, BC, AC.
2. Найти синус угла \angle ABC.
3. Найти косинус угла \angle ABC.

1. Длины сторон

Формула для нахождения расстояния между двумя точками (x_1, y_1, z_1) и (x_2, y_2, z_2):
d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}.

Сторона AB:

 AB = \sqrt{(0 - 2)^2 + (0 - (-1))^2 + (0 - (-3))^2} = \sqrt{(-2)^2 + 1^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 1 + 9} = \sqrt{14}. 

Сторона BC:

 BC = \sqrt{(5 - 0)^2 + (-1 - 0)^2 + (-1 - 0)^2} = \sqrt{5^2 + (-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{25 + 1 + 1} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}. 

Сторона AC:

 AC = \sqrt{(5 - 2)^2 + (-1 - (-1))^2 + (-1 - (-3))^2} = \sqrt{3^2 + 0^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 0 + 4} = \sqrt{13}. 

2. Косинус угла \angle ABC

Формула косинуса угла между векторами:
\cos \theta = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{BC}}{|\vec{AB}| |\vec{BC}|},
где:

• \vec{AB} = (B_x - A_x, B_y - A_y, B_z - A_z),
• \vec{BC} = (C_x - B_x, C_y - B_y, C_z - B_z),
• \vec{AB} \cdot \vec{BC} = (AB_x \cdot BC_x + AB_y \cdot BC_y + AB_z \cdot BC_z),
• |\vec{AB}| и |\vec{BC}| — длины векторов.

Вектор \vec{AB}:

 \vec{AB} = (0 - 2, 0 - (-1), 0 - (-3)) = (-2, 1, 3). 

Вектор \vec{BC}:

 \vec{BC} = (5 - 0, -1 - 0, -1 - 0) = (5, -1, -1). 

Скалярное произведение \vec{AB} \cdot \vec{BC}:

 \vec{AB} \cdot \vec{BC} = (-2) \cdot 5 + 1 \cdot (-1) + 3 \cdot (-1) = -10 - 1 - 3 = -14. 

Длины векторов:

 |\vec{AB}| = \sqrt{14}, \quad |\vec{BC}| = 3\sqrt{3}. 

Косинус угла:

 \cos \theta = \frac{-14}{\sqrt{14} \cdot 3\sqrt{3}} = \frac{-14}{3\sqrt{42}} = \frac{-14\sqrt{42}}{126} = \frac{-\sqrt{42}}{9}. 

3. Синус угла \angle ABC

Формула связи синуса и косинуса:
\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1.

 \sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = 1 - \left(\frac{-\sqrt{42}}{9}\right)^2 = 1 - \frac{42}{81} = \frac{81 - 42}{81} = \frac{39}{81} = \frac{13}{27}. 

 \sin \theta = \sqrt{\frac{13}{27}} = \frac{\sqrt{13}}{3\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{39}}{9}. 

Ответ:

1. Длины сторон:
   AB = \sqrt{14}, \, BC = 3\sqrt{3}, \, AC = \sqrt{13}.
2. Косинус угла \angle ABC:
   \cos \theta = \frac{-\sqrt{42}}{9}.
3. Синус угла \angle ABC:
   \sin \theta = \frac{\sqrt{39}}{9}.