Найти длины отрезков

Предмет: Геометрия

Раздел: Теорема о биссектрисе

Условие задачи:

В треугольнике ( \triangle ABC ):

• ( AB = 12 \, \text{см} ),
• ( AC = 8 \, \text{см} ),
• Биссектриса ( AD ) проведена из вершины ( A ) к стороне ( BC ).
• ( BC = 10 \, \text{см} ).

Найти длины отрезков ( BD ) и ( DC ).

Решение:

По теореме о биссектрисе:
Биссектриса делит противоположную сторону ( BC ) на отрезки ( BD ) и ( DC ), пропорциональные прилежащим сторонам ( AB ) и ( AC ):

\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}.

Подставим известные значения:
\frac{BD}{DC} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}.

Пусть ( BD = 3x ), а ( DC = 2x ). Тогда:
BD + DC = BC, то есть:
3x + 2x = 10.

Решим уравнение:
5x = 10 \, \Rightarrow \, x = 2.

Теперь найдём длины отрезков:
BD = 3x = 3 \cdot 2 = 6 \, \text{см},
DC = 2x = 2 \cdot 2 = 4 \, \text{см}.

Ответ:

BD = 6 \, \text{см},
DC = 4 \, \text{см}.