Найти: длину второго катета и гипотенузы

Предмет: Геометрия

Раздел: Тригонометрия прямоугольного треугольника

Дано:

• Один из острых углов прямоугольного треугольника равен 30^\circ.
• Прилежащий к этому углу катет имеет длину 8 см.

Найти:

1. Длину второго катета и гипотенузы.
2. Синус, косинус и тангенс другого острого угла.

Решение:

1. Найдём длину гипотенузы и второго катета

Известно, что в прямоугольном треугольнике с углом 30^\circ катет, прилежащий к этому углу, равен половине гипотенузы:

 c = \frac{a}{\cos 30^\circ} 

Подставим a = 8 см:

 c = \frac{8}{\cos 30^\circ} = \frac{8}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{8 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{16}{\sqrt{3}} 

Умножим числитель и знаменатель на \sqrt{3}, чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе:

 c = \frac{16\sqrt{3}}{3} \approx 9.24 \text{ см} 

Теперь найдём второй катет b, используя соотношение:

 b = c \cdot \sin 30^\circ 

Так как \sin 30^\circ = \frac{1}{2}, то:

 b = \frac{16}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{2} = \frac{8}{\sqrt{3}} 

Опять избавляемся от иррациональности:

 b = \frac{8\sqrt{3}}{3} \approx 4.62 \text{ см} 

2. Найдём тригонометрические функции другого острого угла

Другой острый угол равен:

 \alpha = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ 

Тогда:

• Синус: \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}.
• Косинус: \cos 60^\circ = \frac{1}{2}.
• Тангенс: \tan 60^\circ = \sqrt{3}.

Ответ:

1. Длина второго катета: \frac{8\sqrt{3}}{3} \approx 4.62 см.
   Длина гипотенузы: \frac{16\sqrt{3}}{3} \approx 9.24 см.
2. 
   
   • \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}.
   • \cos 60^\circ = \frac{1}{2}.
   • \tan 60^\circ = \sqrt{3}.