Доказать, что сумма векторов, соединяющих центр правильного треугольника с его вершинами, равна нулю

Предмет: Математика
Раздел: Векторная алгебра

Рассмотрим правильный треугольник (равносторонний треугольник) с вершинами ( A, B, C ) и центром ( O ). Нам нужно доказать, что сумма векторов, соединяющих центр треугольника с его вершинами, равна нулю:

 \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = \mathbf{0}. 

Доказательство:

1. Выбор системы координат
   Пусть треугольник расположен в декартовой системе координат так, что его центр ( O ) находится в начале координат: ( O(0,0) ).
   Вершины треугольника можно задать, используя комплексную плоскость или координатные методы.

2. Использование свойств центра масс
   Центр правильного треугольника является его центроидом, который определяется как среднее арифметическое координат его вершин:  \mathbf{O} = \frac{\mathbf{A} + \mathbf{B} + \mathbf{C}}{3}.  Так как ( O ) — центр треугольника, по определению:  \mathbf{A} + \mathbf{B} + \mathbf{C} = 3\mathbf{O}.  Но ( O ) — начало координат, то есть ( \mathbf{O} = \mathbf{0} ), следовательно:  \mathbf{A} + \mathbf{B} + \mathbf{C} = 0. 

3. Заключение
   Векторная сумма радиус-векторов вершин правильного треугольника относительно его центра равна нулю. Это означает, что сумма векторов, соединяющих центр треугольника с его вершинами, также равна нулю:  \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = \mathbf{0}. 

Вывод: Доказано, что сумма векторов, соединяющих центр правильного треугольника с его вершинами, равна нулю.