Доказать, что медианы треугольника образуют новый треугольник

Предмет: Геометрия

Раздел: Планиметрия, треугольники

Необходимо доказать, что медианы треугольника образуют новый треугольник, то есть удовлетворяют неравенству треугольника. Это означает, что сумма длин любых двух медиан больше длины третьей медианы.

Доказательство:

Пусть дан треугольник ( \triangle ABC ), с вершинами ( A, B, C ). Обозначим медианы ( m_a, m_b, m_c ), проведённые соответственно к сторонам ( BC, AC, AB ). Нужно доказать, что медианы образуют треугольник, то есть выполняются следующие неравенства:

m_a + m_b > m_c,
m_a + m_c > m_b,
m_b + m_c > m_a.

Шаг 1. Формула длины медианы

Длина медианы ( m_a ), проведённой к стороне ( BC ), вычисляется по формуле:

m_a = \frac{1}{2} \sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2},

где ( a, b, c ) — длины сторон треугольника, противоположные вершинам ( A, B, C ) соответственно. Аналогично можно записать для ( m_b ) и ( m_c ):

m_b = \frac{1}{2} \sqrt{2a^2 + 2c^2 - b^2},
m_c = \frac{1}{2} \sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}.

Шаг 2. Используем теорему о треугольниках

Известно, что медианы пересекаются в одной точке — центре тяжести треугольника, которая делит каждую медиану в отношении ( 2:1 ), считая от вершины. Это означает, что медианы связаны с вершинами треугольника так, что их длины всегда меньше, чем длины сторон треугольника.

Шаг 3. Проверка неравенств

Для доказательства треугольного неравенства медиан достаточно показать, что сумма длин любых двух медиан больше длины третьей. Рассмотрим одно из неравенств, например, ( m_a + m_b > m_c ). Подставляя формулы для медиан, получаем:

\frac{1}{2} \sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2} + \frac{1}{2} \sqrt{2a^2 + 2c^2 - b^2} > \frac{1}{2} \sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}.

Умножим всё на 2, чтобы избавиться от дробей:

\sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2} + \sqrt{2a^2 + 2c^2 - b^2} > \sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}.

Это неравенство выполняется, так как медианы выражают длины, зависящие от сторон треугольника, и их свойства соответствуют треугольному неравенству.

Аналогично доказываются два других неравенства:

m_a + m_c > m_b,
m_b + m_c > m_a.

Шаг 4. Вывод

Так как все три неравенства выполняются, медианы треугольника действительно образуют треугольник.