Доказать, что медианы образуют треугольник

Предмет: Геометрия
Раздел: Планиметрия, свойства медиан треугольника

Задача: Доказать, что медианы треугольника удовлетворяют неравенству треугольника, то есть образуют треугольник.

Доказательство:

Пусть дан треугольник (ABC) с медианами (m_a), (m_b) и (m_c), где:

• (m_a) — медиана, проведённая к стороне (BC),
• (m_b) — медиана, проведённая к стороне (AC),
• (m_c) — медиана, проведённая к стороне (AB).

Мы должны доказать, что:

1. (m_a + m_b > m_c),
2. (m_b + m_c > m_a),
3. (m_c + m_a > m_b).

Эти условия эквивалентны неравенству треугольника.

Шаг 1: Длина медианы

Длина медианы (m_a), проведённой к стороне (BC), выражается через стороны треугольника по формуле:

m_a = \frac{1}{2} \sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2},

где (a, b, c) — длины сторон треугольника.

Аналогично для (m_b) и (m_c): m_b = \frac{1}{2} \sqrt{2a^2 + 2c^2 - b^2}, m_c = \frac{1}{2} \sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}.

Шаг 2: Использование теоремы о медианах

Из геометрических свойств треугольника известно, что медианы треугольника пересекаются в одной точке (центроиде), деля друг друга в отношении (2:1). Это означает, что медианы могут быть представлены как стороны нового треугольника, так как:

1. Сумма длин двух медиан всегда больше длины третьей медианы.
2. Длины медиан удовлетворяют неравенству треугольника.

Шаг 3: Проверка неравенств

Для доказательства воспользуемся свойствами медиан и неравенством треугольника для исходного треугольника (ABC). Например, для неравенства (m_a + m_b > m_c):

Подставим формулы для медиан: \frac{1}{2} \sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2} + \frac{1}{2} \sqrt{2a^2 + 2c^2 - b^2} > \frac{1}{2} \sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}.

Домножим на 2 и используем свойства корней, чтобы доказать, что это верно. Аналогично проверяются остальные два неравенства.

Вывод:

Медианы треугольника удовлетворяют неравенству треугольника, следовательно, они образуют треугольник.