Является ли нормой

Этот вопрос связан с математическим анализом и функциональным анализом, в частности с понятием нормированных пространств.

Чтобы выяснить, является ли функция \( p \) нормой, нужно проверить, удовлетворяет ли она трем основным свойствам нормы:

1. Положительная определенность: \( p(x) \geq 0 \) для всех \( x \) и \( p(x) = 0 \) тогда и только тогда, когда \( x = 0 \).
2. Однородность: \( p(\alpha x) = |\alpha| p(x) \) для любого числа \( \alpha \) и любого \( x \).
3. Неравенство треугольника: \( p(x + y) \leq p(x) + p(y) \) для всех \( x \) и \( y \).

К сожалению, в задании не указано явное выражение для функции \( p(x) \), что затрудняет проверку этих свойств. Тем не менее, рассмотрим стандартную норму для пространства \( C^{(2)}[a, b] \), то есть множества дважды непрерывно дифференцируемых функций на отрезке \([a, b]\).

Для \( C^{(2)}[a, b] \) часто используется норма супремума:

\[ \|f\| = \sup_{x \in [a, b]} |f(x)| \]

Или норма, включающая первые и вторые производные:

\[ \|f\| = \sup_{x \in [a, b]} \left( |f(x)| + |f'(x)| + |f''(x)| \right) \]

Если \( p \) задан в виде одной из таких норм, то проверим основные свойства:

1. Положительная определенность:
   • \(\|f\| \geq 0 \) всегда верно, так как супремум модуля функции и её производных неотрицателен.
   • \(\|f\| = 0 \) тогда и только тогда, когда \( |f(x)| = 0 \) для всех \( x \). Это значит, что \( f(x) = 0 \) для всех \( x \), то есть \( f \equiv 0 \).
2. Однородность:
   • Пусть \( \alpha \) - скаляр. Тогда \[ \|\alpha f\| = \sup_{x \in [a, b]} |\alpha f(x)| = |\alpha| \sup_{x \in [a, b]} |f(x)| = |\alpha| \|f\| \]
3. Неравенство треугольника:
   • Для любых функций \( f \) и \( g \): \[ \|f + g\| = \sup_{x \in [a, b]} |(f + g)(x)| \leq \sup_{x \in [a, b]} \left( |f(x)| + |g(x)| \right) \leq \sup_{x \in [a, b]} |f(x)| + \sup_{x \in [a, b]} |g(x)| = \|f\| + \|g\| \]

Таким образом, если \( p(x) \) представляет собой одну из этих стандартных норм, она действительно является нормой. Без дополнительной информации о конкретной форме \( p(x) \), можно сделать предположение, что это стандартная норма пространства \( C^{(2)}[a, b] \).