Решите уравнение sin z +cos z = 1

Условие:

Решите уравнение sin z +cos z = 1

Решение:

Данное задание относится к предмету математики, а конкретнее — к тригонометрии. Уравнение, которое нужно решить: \(\sin z + \cos z = 1\). Чтобы решить это уравнение, нужно использовать свойства тригонометрических функций и некоторые преобразования. Вот пошаговое объяснение: 1. **Поведение функций синуса и косинуса:** Значения синуса и косинуса находятся в пределах от -1 до 1. Максимальные значения соответствуют \(1\), а минимальные значения — \(-1\). 2. **Рассмотрим квадрат уравнения:** \[ (\sin z + \cos z)^2 = 1^2. \] Раскрывая левую часть: \[ (\sin z + \cos z)^2 = \sin^2 z + 2 \sin z \cos z + \cos^2 z = 1. \] 3. **Используем основное тригонометрическое тождество:** Известно, что \(\sin^2 z + \cos^2 z = 1\). Подставляем это в уравнение: \[ 1 + 2 \sin z \cos z = 1. \] 4. **Упрощаем уравнение:** \[ 1 + 2 \sin z \cos z = 1. \] \[ 2 \sin z \cos z = 0. \] \[ \sin z \cos z = 0. \] 5. **Рассматриваем два случая отдельно:** \(\sin z = 0\) или \(\cos z = 0\). - Если \(\sin z = 0\): \[ z = n\pi, \quad n \in \mathbb{Z}. \] - Если \(\cos z = 0\): \[ z = \frac{\pi}{2} + m\pi, \quad m \in \mathbb{Z}. \] 6. **Проверяем, какие из решений подходят для первоначального уравнения:** - Если \(z = n\pi\): \[ \sin(n\pi) = 0 \quad \text{и} \quad \cos(n\pi) = (-1)^n. \] Тогда уравнение \(\sin z + \cos z = 1\) становится: \[ 0 + (-1)^n = 1, \] что никогда не бывает верным, так как (-1)^n может быть либо 1 либо -1, но не 1 когда \(\sin=0.\) - Если \(z = \frac{\pi}{2} + m\pi\): \[ \cos\left(\frac{\pi}{2} + m\pi\right) = 0 \quad \text{и} \quad \sin\left(\frac{\pi}{2} + m\pi\right) = (-1)^m. \] Тогда уравнение \(\sin z + \cos z = 1\) становится: \[ (-1)^m + 0 = 1, \] что верно только когда \( (-1)^m=1\), это происходит когда \(m\) четное. Следовательно, правильными решениями будут: \[ z = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}. \] Таким образом, решения данного уравнения: \[ z = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}. \]