Данное задание относится к предмету математики, а конкретнее — к тригонометрии. Уравнение, которое нужно решить: \(\sin z + \cos z = 1\). Чтобы решить это уравнение, нужно использовать свойства тригонометрических функций и некоторые преобразования. Вот пошаговое объяснение:
- Поведение функций синуса и косинуса: Значения синуса и косинуса находятся в пределах от -1 до 1. Максимальные значения соответствуют \(1\), а минимальные значения — \(-1\).
- Рассмотрим квадрат уравнения: \[(\sin z + \cos z)^2 = 1^2.\] Раскрывая левую часть: \[(\sin z + \cos z)^2 = \sin^2 z + 2 \sin z \cos z + \cos^2 z = 1.\]
- Используем основное тригонометрическое тождество: Известно, что \(\sin^2 z + \cos^2 z = 1\). Подставляем это в уравнение: \[1 + 2 \sin z \cos z = 1.\]
- Упрощаем уравнение: \[1 + 2 \sin z \cos z = 1.\] \[2 \sin z \cos z = 0.\] \[\sin z \cos z = 0.\]
- Рассматриваем два случая отдельно: \(\sin z = 0\) или \(\cos z = 0\).
- Если \(\sin z = 0\): \[z = n\pi, \quad n \in \mathbb{Z}.\]
- Если \(\cos z = 0\): \[z = \frac{\pi}{2} + m\pi, \quad m \in \mathbb{Z}.\]
- Проверяем, какие из решений подходят для первоначального уравнения:
- Если \(z = n\pi\): \[\sin(n\pi) = 0 \quad \text{и} \quad \cos(n\pi) = (-1)^n.\] Тогда уравнение \(\sin z + \cos z = 1\) становится: \[0 + (-1)^n = 1,\] что никогда не бывает верным, так как (-1)^n может быть либо 1 либо -1, но не 1 когда \(\sin=0.\)
- Если \(z = \frac{\pi}{2} + m\pi\): \[\cos\left(\frac{\pi}{2} + m\pi\right) = 0 \quad \text{и} \quad \sin\left(\frac{\pi}{2} + m\pi\right) = (-1)^m.\] Тогда уравнение \(\sin z + \cos z = 1\) становится: \[(-1)^m + 0 = 1,\] что верно только когда \( (-1)^m=1\), это происходит когда \(m\) четное.
Следовательно, правильными решениями будут: \[z = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}.\]
Таким образом, решения данного уравнения: \[z = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}.\]