Провести полное исследование и построить график функции

Условие:

Провести полное исследование и построить график функции

Решение:

**Предмет**: Математика **Раздел**: Исследование функций **Задание**: Провести полное исследование и построить график функции **Функция**: \[ y = \sqrt[3]{(x - 2)^2} + \sqrt[3]{(x - 4)^2} \] Для того чтобы исследовать функцию и построить ее график, необходимо следовать нескольким основным шагам: определить область определения функции, исследовать поведение функции на границах области, найти критические точки, значения производной, экстремумы и построить график функции. ### 1. **Область определения** В данном случае в функции стоят кубические корни. Кубический корень определен для любых вещественных чисел, поэтому область определения функции — вся числовая прямая. Таким образом: \[ D(y) = (-\infty, +\infty) \] ### 2. **Анализ функции** Перепишем выражение для функции: \[ y(x) = \sqrt[3]{(x - 2)^2} + \sqrt[3]{(x - 4)^2}. \] Кубический корень из квадрата числа всегда неотрицателен, так как: \[ \sqrt[3]{a^2} \geq 0 \text{ для любого } a. \] Следовательно, все части функции неотрицательны. Кубический корень по форме выглядит следующими образом: - Для положительных чисел его значение будет положительным; - Для отрицательных корень из квадрата тоже будет положительным, поэтому функция не изменит своего поведения на отрицательных промежутках. #### Симметрия: Функция нечетная и нечетной симметрии по оси \(x\) здесь нет. ### 3. **Производная функции** Для нахождения экстремумов и анализа поведения (возрастание/убывание), необходимо вычислить первую производную функции. Функция записана как сумма двух выражений типа \( \sqrt[3]{(x - a)^2} \). Используем производную кубического корня с помощью правил производных сложных функций. \[ y' = \frac{d}{dx} \left( \sqrt[3]{(x - 2)^2} \right) + \frac{d}{dx} \left( \sqrt[3]{(x - 4)^2} \right) \] Используя цепное правило: \[ \frac{d}{dx} \left( \sqrt[3]{u(x)^2} \right) = \frac{2u}{3u^{2/3}} = \frac{2(x - a)}{3 \left( (x - a)^2 \right)^{2/3}} \] Для каждого слагаемого получаем: \[ y' = \frac{2(x - 2)}{3 (x - 2)^{4/3}} + \frac{2(x - 4)}{3 (x - 4)^{4/3}} \] ### 4. **Анализ критических точек** Чтобы найти критические точки, необходимо решить уравнение \( y' = 0 \): \[ \frac{2(x - 2)}{3 (x - 2)^{4/3}} + \frac{2(x - 4)}{3 (x - 4)^{4/3}} = 0 \] Это довольно сложное уравнение, которое можно решить численно. ### 5. **Границы функции и поведение на бесконечности** Изучим поведение функции на бесконечностях. Когда \(x \to +\infty\) или \(x \to -\infty\), каждая часть функции стремится \(\to + \infty\). ### 6. **График функции** На основании анализа поведения, критических точек, и производной, мы можем построить график функции. ### Итог: Функция возрастает на всей области определения, при этом не имеет отрицательных значений. Дальнейший графический анализ может быть выполнен с помощью численных вычислений, чтобы учитывать мелкие локальные особенности функции.