Проверить функцию на монотонность

Задание относится к предмету "Математика", раздел "Анализ функций". В данном случае необходимо проверить функцию на монотонность, что включает нахождение промежутков возрастания и убывания.

Дано: \[ y = \left( \frac{2 - x}{x + 2} \right)^4 \]

Наша цель — исследовать эту функцию на монотонность. Для этого нужно:

1. Найти производную функции \( y'(x) \).
2. Определить знаки производной, чтобы выяснить, где функция возрастает, а где убывает.

1. Найдём производную

Для начала используем правило производной от степени: \[ y = f(x)^n \Rightarrow y' = n \cdot f(x)^{n-1} \cdot f'(x). \] В нашем случае: \[ f(x) = \frac{2 - x}{x + 2}, \quad n = 4. \] Производная этой функции будет: \[ y'(x) = 4 \cdot \left( \frac{2 - x}{x + 2} \right)^3 \cdot f'(x). \] Теперь найдём производную от \(f(x) = \frac{2 - x}{x + 2}\) с помощью правила производной для отношения функций: \[ f'(x) = \frac{(2 - x)' \cdot (x + 2) - (2 - x) \cdot (x + 2)'}{(x + 2)^2}. \] Рассчитаем: \[ f'(x) = \frac{-1 \cdot (x + 2) - (2 - x) \cdot 1}{(x + 2)^2} = \frac{- (x + 2) - (2 - x)}{(x + 2)^2}. \] \[ = \frac{-x - 2 - 2 + x}{(x + 2)^2} = \frac{-4}{(x + 2)^2}. \] Итак, \( f'(x) = \frac{-4}{(x + 2)^2} \).

2. Подставим это в производную \( y'(x) \):

\[ y'(x) = 4 \cdot \left( \frac{2 - x}{x + 2} \right)^3 \cdot \frac{-4}{(x + 2)^2}. \] Упростим выражение: \[ y'(x) = -16 \cdot \frac{(2 - x)^3}{(x + 2)^5}. \]

3. Исследуем знак производной

Нам важно понять, когда производная положительна, а когда отрицательна. Для этого рассмотрим знак числителя и знаменателя.

• Знаменатель \( (x + 2)^5 \) всегда положителен, так как степень нечётная, а квадрат указан в основной функции.
• Числитель \( -(2 - x)^3 \) зависит от \( 2 - x \):
  • Если \( x < 2 \), \( (2 - x) \) положительно, значит \( -(2 - x)^3 < 0 \)— производная отрицательна.
  • Если \( x = 2 \), числитель равен нулю, следовательно, производная равна нулю.
  • Если \( x > 2 \), \( (2 - x) \) отрицательно, значит \( -(2 - x)^3 >0 \)— производная положительна.

4. Вывод

• Для \( x < 2 \) производная \( y'(x) < 0 \), следовательно, функция убывает.
• Для \( x = 2 \) функция имеет критическую точку (производная равна 0).
• Для \( x > 2 \) производная \( y'(x) > 0 \), следовательно, функция возрастает.

Ответ: Функция убывает на промежутке \( (-\infty, 2) \) и возрастает на промежутке \( (2, +\infty) \).