Нормированные и унитарные пространства. Гильбертовы пространства.Примеры. Теорема о полноте.

Предмет: Функциональный анализ
Раздел: Нормированные пространства, унитарные пространства, Гильбертовы пространства

Разберём поэтапно:

1. Нормированные пространства

Это векторные пространства, в которых введено понятие нормы — функции, которая каждой точке (вектору) ставит в соответствие неотрицательное число, удовлетворяющее определённым аксиомам.

Определение нормы:

Пусть ( X ) — векторное пространство над полем ( \mathbb{R} ) или ( \mathbb{C} ). Отображение ( | \cdot |: X \to \mathbb{R} ) называется нормой, если для всех ( x, y \in X ) и всех скаляров ( \alpha ) выполняются:

1. \|x\| \geq 0 и \|x\| = 0 \Leftrightarrow x = 0 (невырожденность)
2. \|\alpha x\| = |\alpha| \cdot \|x\| (однородность)
3. \|x + y\| \leq \|x\| + \|y\| (неравенство треугольника)

Пример: пространство [ \mathbb{R}^n ] с нормой Евклида: \|x\| = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2}

2. Унитарные пространства

Это векторные пространства над полем комплексных чисел, в которых определено скалярное произведение, удовлетворяющее определённым свойствам.

Определение скалярного произведения:

Отображение \langle \cdot, \cdot \rangle: X \times X \to \mathbb{C} называется скалярным произведением, если:

1. \langle x, x \rangle \geq 0 и \langle x, x \rangle = 0 \Leftrightarrow x = 0
2. \langle x, y \rangle = \overline{\langle y, x \rangle} (эрмитовость)
3. \langle \alpha x + \beta y, z \rangle = \alpha \langle x, z \rangle + \beta \langle y, z \rangle (линейность по первому аргументу)

Из скалярного произведения можно ввести норму: \|x\| = \sqrt{\langle x, x \rangle}

3. Гильбертово пространство

Это полное унитарное пространство, то есть унитарное пространство, в котором любая фундаментальная последовательность сходится в норме к элементу из этого же пространства.

Пример:

Пространство [ L^2([a, b]) ] — множество квадратно-интегрируемых функций на отрезке [ [a, b] ] с нормой: \|f\| = \left( \int_a^b |f(x)|^2 dx \right)^{1/2}

Это пространство является Гильбертовым.

4. Теорема о полноте

Теорема: Любое унитарное пространство, в котором любая фундаментальная последовательность сходится (в смысле нормы), является Гильбертовым пространством.

То есть, полнота — это ключевое свойство, отличающее Гильбертово пространство от произвольного унитарного.

Итог:

• Нормированные пространства — введена норма.
• Унитарные пространства — введено скалярное произведение, из него можно получить норму.
• Гильбертовы пространства — полные унитарные пространства.
• Примеры: [ \mathbb{R}^n ], [ \mathbb{C}^n ], [ L^2([a, b]) ]
• Теорема о полноте: Гильбертово пространство — это полное унитарное пространство.