Найти значение функции при заданном x. - Найти производную функции. - Найти точки экстремума (максимумы и минимумы). - Выяснить поведение функции на бесконечностях

Конечно, давайте разберёмся с вашим заданием. Предмет: Математика. Раздел предмета: Аналитическая геометрия или исчисление (Calculus), в зависимости от контекста задания. Задание: $\text{(}y=\frac{x^3}{3}+2x^2+3x+18\text{)}$

Поэтапное объяснение:

1. Функция: Перед нами функция $\text{(}y\text{)}$ от $\text{(}x\text{)}$.
2. Анализ её частей:
   • $\text{(}\frac{x^3}{3}\text{)}$: Кубическая функция, делённая на 3.
   • $\text{(}2x^2\text{)}$: Квадратичная функция.
   • $\text{(}3x\text{)}$: Линейная функция.
   • $\text{(}18\text{)}$: Константа.
3. Возможные задачи:
   • Найти значение функции при заданном $\text{(}x\text{)}$.
   • Найти производную функции.
   • Найти точки экстремума (максимумы и минимумы).
   • Выяснить поведение функции на бесконечностях.
4. Для общей подготовки, давайте рассмотрим основные шаги для нахождения производной этой функции $\text{(}f(x)=\frac{x^3}{3}+2x^2+3x+18\text{)}$.

Нахождение производной функции

Производная функции позволяет нам определить скорость изменения $\text{(}y\text{)}$ по отношению к $\text{(}x\text{)}$. Это будет полезно для нахождения критических точек (где производная равна нулю). Формула для производной $\text{(}d/dx\text{)}$:

1. Для $\text{(}\frac{x^3}{3}\text{)}$: Производная от $\text{(}{x}^3\text{)}$ равна $\text{(}3x^2\text{)}$. С учётом деления на 3: производная от $\text{(}\frac{x^3}{3}\text{)}$ = $\text{(}{x}^2\text{)}$.
2. Для $\text{(}2x^2\text{)}$: Производная от $\text{(}{x}^2\text{)}$ равна $\text{(}2x\text{)}$. С учётом коэффициента 2: производная от $\text{(}2x^2\text{)}$ = $\text{(}4x\text{)}$.
3. Для $\text{(}3x\text{)}$: Производная от $\text{(}\text{)}$ равна 1. С учётом коэффициента 3: производная от $\text{(}3x\text{)}$ = 3.
4. Для $\text{(}18\text{)}$: Константы при дифференцировании теряются: производная от 18 = 0.

Итак, полная производная функции $\text{(}f(x)\text{)}$: $\text{[}{f}^{\prime }(x)=\frac{d}{dx}(\frac{x^3}{3}+2x^2+3x+18)\text{]}$ $\text{[}{f}^{\prime }(x)=x^2+4x+3\text{]}$

Результат

Производная функции $\text{(}y\text{)}$, т.е. $\text{(}{f}^{\prime }(x)\text{)}$: $\text{[}{f}^{\prime }(x)=x^2+4x+3\text{]}$

Дополнительно

Если потребуется, мы можем найти корни производной (точки, где $\text{(}{y}^{\prime }=0\text{)}$) для нахождения критических точек, исследовать промежутки возрастания и убывания функции, построить график функции и т.д. Пожалуйста, уточните задачу, если нужно что-то конкретное. Надеюсь, это объяснение помогло вам понять задание лучше! Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь их задавать!