Найти значение функции при заданном x. - Найти производную функции. - Найти точки экстремума (максимумы и минимумы). - Выяснить поведение функции на бесконечностях

Условие:

y = (x ^ 3) / 3 + 2x ^ 2 + 3x + 18

Решение:

Конечно, давайте разберёмся с вашим заданием. Предмет: Математика. Раздел предмета: Аналитическая геометрия или исчисление (Calculus), в зависимости от контекста задания. Задание: \( y = \frac{x^3}{3} + 2x^2 + 3x + 18 \) **Поэтапное объяснение:** 1. **Функция:** Перед нами функция \( y \) от \( x \). 2. **Анализ её частей:** - \( \frac{x^3}{3} \): Кубическая функция, делённая на 3. - \( 2x^2 \): Квадратичная функция. - \( 3x \): Линейная функция. - \( 18 \): Константа. 3. **Возможные задачи:** - Найти значение функции при заданном \( x \). - Найти производную функции. - Найти точки экстремума (максимумы и минимумы). - Выяснить поведение функции на бесконечностях. Для общей подготовки, давайте рассмотрим основные шаги для нахождения производной этой функции \( f(x) = \frac{x^3}{3} + 2x^2 + 3x + 18 \). ### Нахождение производной функции Производная функции позволяет нам определить скорость изменения \( y \) по отношению к \( x \). Это будет полезно для нахождения критических точек (где производная равна нулю). Формула для производной \( {d}/{dx} \): 1. Производная от \( x^n \) по \( x \) равна \( nx^{n-1} \). Применим это правило к каждому члену функции: 1. **Для \( \frac{x^3}{3} \):** Производная от \( x^3 \) равна \( 3x^2 \). С учётом деления на 3: производная от \( \frac{x^3}{3} \) = \( x^2 \). 2. **Для \( 2x^2 \):** Производная от \( x^2 \) равна \( 2x \). С учётом коэффициента 2: производная от \( 2x^2 \) = \( 4x \). 3. **Для \( 3x \):** Производная от \( x \) равна 1. С учётом коэффициента 3: производная от \( 3x \) = 3. 4. **Для \( 18 \):** Константы при дифференцировании теряются: производная от 18 = 0. Итак, полная производная функции \( f(x) \): \[ f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{x^3}{3} + 2x^2 + 3x + 18 \right) \] \[ f'(x) = x^2 + 4x + 3 \] ### Результат Производная функции \( y \), т.е. \( f'(x) \): \[ f'(x) = x^2 + 4x + 3 \] ### Дополнительно Если потребуется, мы можем найти корни производной (точки, где \( y' = 0 \)) для нахождения критических точек, исследовать промежутки возрастания и убывания функции, построить график функции и т.д. Пожалуйста, уточните задачу, если нужно что-то конкретное. Надеюсь, это объяснение помогло вам понять задание лучше! Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь их задавать!