Найти значение функции при заданном x. - Найти производную функции. - Найти точки экстремума (максимумы и минимумы). - Выяснить поведение функции на бесконечностях

Конечно, давайте разберёмся с вашим заданием. Предмет: Математика. Раздел предмета: Аналитическая геометрия или исчисление (Calculus), в зависимости от контекста задания. Задание: \( y = \frac{x^3}{3} + 2x^2 + 3x + 18 \)

Поэтапное объяснение:

1. Функция: Перед нами функция \( y \) от \( x \).
2. Анализ её частей:
   • \( \frac{x^3}{3} \): Кубическая функция, делённая на 3.
   • \( 2x^2 \): Квадратичная функция.
   • \( 3x \): Линейная функция.
   • \( 18 \): Константа.
3. Возможные задачи:
   • Найти значение функции при заданном \( x \).
   • Найти производную функции.
   • Найти точки экстремума (максимумы и минимумы).
   • Выяснить поведение функции на бесконечностях.
4. Для общей подготовки, давайте рассмотрим основные шаги для нахождения производной этой функции \( f(x) = \frac{x^3}{3} + 2x^2 + 3x + 18 \).

Нахождение производной функции

Производная функции позволяет нам определить скорость изменения \( y \) по отношению к \( x \). Это будет полезно для нахождения критических точек (где производная равна нулю). Формула для производной \( {d}/{dx} \):

1. Для \( \frac{x^3}{3} \): Производная от \( x^3 \) равна \( 3x^2 \). С учётом деления на 3: производная от \( \frac{x^3}{3} \) = \( x^2 \).
2. Для \( 2x^2 \): Производная от \( x^2 \) равна \( 2x \). С учётом коэффициента 2: производная от \( 2x^2 \) = \( 4x \).
3. Для \( 3x \): Производная от \(\) равна 1. С учётом коэффициента 3: производная от \( 3x \) = 3.
4. Для \( 18 \): Константы при дифференцировании теряются: производная от 18 = 0.

Итак, полная производная функции \( f(x) \): \[ f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{x^3}{3} + 2x^2 + 3x + 18 \right) \] \[ f'(x) = x^2 + 4x + 3 \]

Результат

Производная функции \( y \), т.е. \( f'(x) \): \[ f'(x) = x^2 + 4x + 3 \]

Дополнительно

Если потребуется, мы можем найти корни производной (точки, где \( y' = 0 \)) для нахождения критических точек, исследовать промежутки возрастания и убывания функции, построить график функции и т.д. Пожалуйста, уточните задачу, если нужно что-то конкретное. Надеюсь, это объяснение помогло вам понять задание лучше! Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь их задавать!