Найти область определения функции

Определим предмет и раздел задачи.

Предмет: Математика
Раздел: Функции и их свойства

Условие задания:

Найти область определения функции \( y = \frac{1}{x^2 + 3} \). Область определения функции — это множество всех значений переменной \( x \), при которых функция \( y \) определена.

Решение:

1. Что нужно проверить:

Функция \( y = \frac{1}{x^2 + 3} \) — это дробно-рациональная функция. Она определена тогда, когда знаменатель не равен нулю. Таким образом, \( x^2 + 3 \neq 0 \).

2. Анализ знаменателя:

Рассмотрим выражение в знаменателе: \[ x^2 + 3 \]
Здесь:

• \( x^2 \) — это квадрат числа \( x \). Значение \( x^2 \geq 0 \), так как квадрат числа никогда не бывает отрицательным.
• Следовательно, сумма \( x^2 + 3 \geq 3 \). Это выражение всегда больше нуля для всех возможных значений \( x \).

3. Вывод о знаменателе:

Поскольку \( x^2 + 3 > 0 \) для всех \( x \), знаменатель никогда не равен нулю. Следовательно, функция \( y = \frac{1}{x^2 + 3} \) определена для всех значений \( x \).

Область определения:

Область определения функции — все действительные числа (\( \mathbb{R} \)). То есть: \[ D(y) = \mathbb{R} \]

Ответ:

Область определения функции \( y = \frac{1}{x^2 + 3} \) — это множество всех действительных чисел, или: \[ D(y) = (-\infty, +\infty) \]