Задание связано с математикой, а именно с анализом функций.
Конкретный раздел — вычисление областей значений функций.
Решение:
а) \( y = x^2 - 8x + 20 \)
- Задана квадратичная функция. Найдем её область значений.
Уравнение квадратичной функции можно записать в каноническом виде: \[ y = a(x-h)^2 + k, \] где \( h \) и \( k \) — координаты вершины параболы. Коэффициент \( a > 0 \), значит, ветви параболы направлены вверх, а \( k \) — минимальное значение функции.
- Перейдем к преобразованию:
\[ y = x^2 - 8x + 20. \]
Выделим полный квадрат:
\[ y = (x^2 - 8x + 16) + 20 - 16, \]
\[ y = (x - 4)^2 + 4. \]
- Минимальное значение \( y \) достигается в вершине параболы при \( x = 4 \): \[ y_{\text{min}} = 4. \] Так как ветви направлены вверх, область значений:
\[ E = [4; +\infty). \]
б) \( y = 3^{-x^2} \)
- Функция экспоненциального вида.
Основание экспоненты \( 3 > 1 \), а показатель степени \( -x^2 \) всегда меньше либо равен нулю (\( x^2 \geq 0 \), значит \( -x^2 \leq 0 \)).
\[ y = 3^{-x^2} = \frac{1}{3^{x^2}}. \]
- Пределы изменения \( -x^2 \):
- При \( x = 0 \): \( y = 3^0 = 1 \).
- При \( |x| \to \infty \): \( y \to 0^+ \) (степень стремится к \( -\infty \)).
- Следовательно, область значений функции:
\[ E = (0; 1]. \]
в) \( y = \frac{1}{\pi} \arctan{x} \)
- Функция \( \arctan x \) определена на всей числовой прямой \( x \in (-\infty; +\infty) \).
- Границы \( \arctan x \):
- При \( x \to -\infty \): \( \arctan x \to -\frac{\pi}{2} \).
- При \( x \to +\infty \): \( \arctan x \to \frac{\pi}{2} \).
- Умножим значения \( \arctan x \) на \( \frac{1}{\pi} \):
\[ y \in \left( -\frac{\pi}{2} \cdot \frac{1}{\pi}; \frac{\pi}{2} \cdot \frac{1}{\pi} \right) = \left( -\frac{1}{2}; \frac{1}{2} \right). \]
- Итог:
\[ E = \left( -\frac{1}{2}; \frac{1}{2} \right). \]
- Квадратный корень определен только при неотрицательном подкоренном выражении:
\[ 5 - x \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \leq 5. \]
- Значение \( \sqrt{5 - x} \):
- При \( x = 5 \): \( \sqrt{5 - 5} = 0 \Rightarrow y = 2 \).
- При \( x \to -\infty \): \( \sqrt{5 - (-\infty)} \to +\infty \).
- Следовательно:
\[ E = [2; +\infty). \]
Ответы:
а) \( E = [4; +\infty) \)
б) \( E = (0; 1] \)
в) \( E = \left( -\frac{1}{2}; \frac{1}{2} \right) \)
г) \( E = [2; +\infty) \)