Найти множество значений функции

Задание связано с математикой, а именно с анализом функций.

Конкретный раздел — вычисление областей значений функций.


Решение:

а) \( y = x^2 - 8x + 20 \)

  1. Задана квадратичная функция. Найдем её область значений.
  2. Уравнение квадратичной функции можно записать в каноническом виде: \[ y = a(x-h)^2 + k, \] где \( h \) и \( k \) — координаты вершины параболы. Коэффициент \( a > 0 \), значит, ветви параболы направлены вверх, а \( k \) — минимальное значение функции.

  3. Перейдем к преобразованию: \[ y = x^2 - 8x + 20. \]

    Выделим полный квадрат: \[ y = (x^2 - 8x + 16) + 20 - 16, \] \[ y = (x - 4)^2 + 4. \]

  4. Минимальное значение \( y \) достигается в вершине параболы при \( x = 4 \): \[ y_{\text{min}} = 4. \] Так как ветви направлены вверх, область значений: \[ E = [4; +\infty). \]

б) \( y = 3^{-x^2} \)

  1. Функция экспоненциального вида.
  2. Основание экспоненты \( 3 > 1 \), а показатель степени \( -x^2 \) всегда меньше либо равен нулю (\( x^2 \geq 0 \), значит \( -x^2 \leq 0 \)).
    \[ y = 3^{-x^2} = \frac{1}{3^{x^2}}. \]

  3. Пределы изменения \( -x^2 \):
    • При \( x = 0 \): \( y = 3^0 = 1 \).
    • При \( |x| \to \infty \): \( y \to 0^+ \) (степень стремится к \( -\infty \)).
  4. Следовательно, область значений функции: \[ E = (0; 1]. \]

в) \( y = \frac{1}{\pi} \arctan{x} \)

  1. Функция \( \arctan x \) определена на всей числовой прямой \( x \in (-\infty; +\infty) \).
  2. Границы \( \arctan x \):
    • При \( x \to -\infty \): \( \arctan x \to -\frac{\pi}{2} \).
    • При \( x \to +\infty \): \( \arctan x \to \frac{\pi}{2} \).
  3. Умножим значения \( \arctan x \) на \( \frac{1}{\pi} \): \[ y \in \left( -\frac{\pi}{2} \cdot \frac{1}{\pi}; \frac{\pi}{2} \cdot \frac{1}{\pi} \right) = \left( -\frac{1}{2}; \frac{1}{2} \right). \]
  4. Итог: \[ E = \left( -\frac{1}{2}; \frac{1}{2} \right). \]

  1. Квадратный корень определен только при неотрицательном подкоренном выражении: \[ 5 - x \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \leq 5. \]
  2. Значение \( \sqrt{5 - x} \):
    • При \( x = 5 \): \( \sqrt{5 - 5} = 0 \Rightarrow y = 2 \).
    • При \( x \to -\infty \): \( \sqrt{5 - (-\infty)} \to +\infty \).
  3. Следовательно: \[ E = [2; +\infty). \]

Ответы:

а) \( E = [4; +\infty) \)
б) \( E = (0; 1] \)
в) \( E = \left( -\frac{1}{2}; \frac{1}{2} \right) \)
г) \( E = [2; +\infty) \)

г) \( y = \sqrt{5 - x} + 2 \)

Не нашли нужного вам решения? Оставьте заявку и наши авторы быстро и качественно помогут вам с решением.
Оставить заявку
Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!

Заполните, пожалуйста, данные для автора:

  • 22423 авторов готовы помочь тебе.
  • 2402 онлайн