Найти интервалы знакопостоянства функции

Давайте разберем задание пошагово.

Задание

Необходимо найти интервалы знакопостоянства функции \[ y = \frac{1}{x^2 + 3}. \]

Это участки области определения функции, на которых данная функция сохраняет постоянный знак — всегда положительный или всегда отрицательный.

Решение

1. Область определения функции.
   Рассмотрим функцию \(\frac{1}{x^2 + 3}\):
   • Знаменатель \(x^2 + 3\) не может равняться нулю, ведь деление на ноль не определено.
   • Однако \(x^2 + 3 \geq 3 > 0\) для любых \(x \in \mathbb{R}\), то есть знаменатель никогда не обращается в ноль.
   Вывод: область определения функции — все действительные числа (\(x \in \mathbb{R}\)).
2. Анализ знака функции.
   Функция \(\frac{1}{x^2 + 3}\) принимает определенное значение при каждом \(x\):
   • Знаменатель \(x^2 + 3 > 0\) для всех \(x \in \mathbb{R}\).
   • Числитель \(1 > 0\).
   Следовательно, дробь \(\frac{1}{x^2 + 3}\) всегда положительна (дробь положительна, когда числитель и знаменатель имеют одинаковый знак).
3. Интервалы знакопостоянства.
   Так как \(\frac{1}{x^2 + 3} > 0\) для всех \(x \in \mathbb{R}\), то функция положительна на всей области определения.

Графическое подтверждение:

Для проверки ключевых свойств функции можно построить график: \[ y = \frac{1}{x^2 + 3}. \]
График будет симметричен относительно оси \(y\) (поскольку функция четная), и все значения \(y > 0\).

Итоговый ответ

Функция \(y = \frac{1}{x^2 + 3}\) положительна на всем интервале \(x \in (-\infty; +\infty)\).
Интервалы знакопостоянства: \((-\infty; +\infty)\), знак \( > 0 \).

Ответ: функция всегда положительна на интервале \((-\infty; +\infty)\).