Найти экстремум функции z=x^3+8y^3-6xy+1

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ — Исследование функции нескольких переменных на экстремум

Нам дана функция двух переменных:

z = x^3 + 8y^3 - 6xy + 1

Нужно найти её экстремум, то есть точки, в которых функция достигает локального минимума, максимума или седловой точки.

Шаг 1: Найдём критические точки

Для этого вычислим частные производные по переменным x и y и приравняем их к нулю.

Частная производная по x:

 \frac{\partial z}{\partial x} = 3x^2 - 6y 

Частная производная по y:

 \frac{\partial z}{\partial y} = 24y^2 - 6x 

Теперь приравниваем обе производные к нулю:

 \begin{cases} 3x^2 - 6y = 0 \ 24y^2 - 6x = 0 \end{cases} 

Упростим каждое уравнение:

1. x^2 = 2y
2. 4y^2 = x

Теперь подставим первое уравнение во второе:

 4y^2 = x = \sqrt{2y} \Rightarrow \text{Подставим } x = 4y^2 \text{ в первое уравнение} 

Тогда:

 (4y^2)^2 = 2y \Rightarrow 16y^4 = 2y 

Разделим обе части на 2:

 8y^4 = y 

Перенесем всё в одну часть:

 8y^4 - y = 0 \Rightarrow y(8y^3 - 1) = 0 

Решаем это уравнение:

1. y = 0
2. 8y^3 = 1 \Rightarrow y = \sqrt[3]{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2}

Теперь найдём соответствующие значения x:

• Если y = 0, то из x^2 = 2y = 0 → x = 0
• Если y = \frac{1}{2}, то x = 4y^2 = 4 \cdot \frac{1}{4} = 1

Итак, критические точки:

• (0, 0)
• (1, \frac{1}{2})

Шаг 2: Исследуем характер критических точек

Используем второй дифференциал (матрицу Гессе) для определения типа точки.

Найдём вторые производные:

• f_{xx} = \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = 6x
• f_{yy} = \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = 48y
• f_{xy} = \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = -6

Вычислим определитель матрицы Гессе:

 D = f_{xx} \cdot f_{yy} - (f_{xy})^2 

Точка (0, 0):

• f_{xx} = 0, f_{yy} = 0, f_{xy} = -6
• D = 0 \cdot 0 - (-6)^2 = -36

Так как D < 0, то точка (0, 0) — седловая точка.

Точка (1, 1/2):

• f_{xx} = 6 \cdot 1 = 6
• f_{yy} = 48 \cdot \frac{1}{2} = 24
• f_{xy} = -6

Теперь:

 D = 6 \cdot 24 - (-6)^2 = 144 - 36 = 108 > 0 

Так как D > 0 и f_{xx} = 6 > 0, то точка (1, \frac{1}{2}) — точка локального минимума.

Ответ:

• Седловая точка: (0, 0)
• Точка локального минимума: (1, \frac{1}{2})
  Значение функции в этой точке:

 z = 1^3 + 8 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3 - 6 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} + 1 = 1 + 1 - 3 + 1 = 0 

Итог:

• Локальный минимум: точка (1, \frac{1}{2}), значение функции z = 0
• Седловая точка: (0, 0)