Найти анализ функции

Условие:

f(x)=6/(x+1)

Решение:

Определим предмет и раздел, к которому относится это задание. Задание связано с функцией, а именно требуется найти её анализ или преобразование. Это чисто математическая задача, которая наиболее вероятно относится к разделу "Анализ функций" в математике. Давайте решим задание, подробно объяснив каждый шаг. ### Шаг 1: Определение области определения функции (D[f]) Для функции \( f(x) = \frac{6}{x+1} \) важно определить, при каких значениях \( x \) выражение в знаменателе не равно нулю, так как деление на ноль не определено. Определим, при каком \( x \) знаменатель равен нулю: \[ x + 1 = 0 \] \[ x = -1 \] Значит, при \( x = -1 \) функция не определена. Таким образом, область определения функции (D[f]) будет: \[ D[f] = \{ x \in \mathbb{R} \mid x \neq -1 \} \] ### Шаг 2: Поведение функции при приближении к запрещенной точке Исследуем поведение функции при \( x \) приближается к -1, потому что функция может иметь вертикальную асимптоту в этой точке. Рассмотрим пределы: \[ \lim_{x \to -1^+} f(x) = \lim_{x \to -1^+} \frac{6}{x+1} = +\infty \] \[ \lim_{x \to -1^-} f(x) = \lim_{x \to -1^-} \frac{6}{x+1} = -\infty \] Это означает, что при приближении к точке \( x = -1 \) справа (то есть со стороны больших значений x) функция стремится к \( +\infty \), а слева (со стороны меньших значений x) функция стремится к \( -\infty \). ### Шаг 3: Исследование на непрерывность На интервалах, где функция определена, она непрерывна. Непрерывна на каждом промежутке из области определения: \[ (-\infty, -1) \cup (-1, +\infty) \] ### Шаг 4: Поиск асимптот 1. **Вертикальная асимптота:** У нас уже есть вертикальная асимптота в \( x = -1 \). 2. **Горизонтальная асимптота:** Исследуем предел функции при \( x \to \pm\infty \): \[ \lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{6}{x+1} = 0 \] Следовательно, горизонтальная асимптота находится на уровне \( y = 0 \). ### Шаг 5: Исследование функции на монотонность и экстремумы Для того чтобы исследовать поведение функции, вычислим её производную \( f'(x) \). ### Шаг 6: Найдем производную \( f'(x) \) Используем правила дифференцирования дробных функций: \[ f(x) = \frac{6}{x+1} = 6 \cdot (x+1)^{-1} \] Производная будет: \[ f'(x) = 6 \cdot (-1) \cdot (x+1)^{-2} = -\frac{6}{(x+1)^2} \] ### Шаг 7: Знаки производной Анализируем знаки производной: - \( f'(x) < 0 \) для всех \( x \neq -1 \) Это означает, что функция убывает на всей области определения. ### Вывод Мы проанализировали функцию \( f(x) = \frac{6}{x+1} \) по разным аспектам. - **Область определения:** \( x \neq -1 \) - **Вертикальная асимптота:** \( x = -1 \) - **Горизонтальная асимптота:** \( y = 0 \) - **Функция убывает** на всей области определения. Если есть дополнительное задание на нахождение значений функции в конкретных точках или построение графика, можно производить дальнейшие вычисления и чертежи.