Найти анализ функции

Определим предмет и раздел, к которому относится это задание.

Задание связано с функцией, а именно требуется найти её анализ или преобразование. Это чисто математическая задача, которая наиболее вероятно относится к разделу "Анализ функций" в математике. Давайте решим задание, подробно объяснив каждый шаг.

Шаг 1: Определение области определения функции (D[f])

Для функции \( f(x) = \frac{6}{x+1} \) важно определить, при каких значениях \( x \) выражение в знаменателе не равно нулю, так как деление на ноль не определено. Определим, при каком \( x \) знаменатель равен нулю:

\[ x + 1 = 0 \]

\[ x = -1 \]

Значит, при \( x = -1 \) функция не определена. Таким образом, область определения функции (D[f]) будет:

\[ D[f] = \{ x \in \mathbb{R} \mid x \neq -1 \} \]

Шаг 2: Поведение функции при приближении к запрещенной точке

Исследуем поведение функции при \( x \) приближается к -1, потому что функция может иметь вертикальную асимптоту в этой точке. Рассмотрим пределы:

\[ \lim_{x \to -1^+} f(x) = \lim_{x \to -1^+} \frac{6}{x+1} = +\infty \]

\[ \lim_{x \to -1^-} f(x) = \lim_{x \to -1^-} \frac{6}{x+1} = -\infty \]

Это означает, что при приближении к точке \( x = -1 \) справа (то есть со стороны больших значений x) функция стремится к \( +\infty \), а слева (со стороны меньших значений x) функция стремится к \( -\infty \).

Шаг 3: Исследование на непрерывность

На интервалах, где функция определена, она непрерывна. Непрерывна на каждом промежутке из области определения:

\[ (-\infty, -1) \cup (-1, +\infty) \]

Шаг 4: Поиск асимптот

1. Вертикальная асимптота: У нас уже есть вертикальная асимптота в \( x = -1 \).
2. Горизонтальная асимптота: Исследуем предел функции при \( x \to \pm\infty \):

\[ \lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{6}{x+1} = 0 \]

Следовательно, горизонтальная асимптота находится на уровне \( y = 0 \).

Шаг 5: Исследование функции на монотонность и экстремумы

Для того чтобы исследовать поведение функции, вычислим её производную \( f'(x) \).

Шаг 6: Найдем производную \( f'(x) \)

Используем правила дифференцирования дробных функций:

\( f(x) = \frac{6}{x+1} = 6 \cdot (x+1)^{-1} \)

Производная будет:

\( f'(x) = 6 \cdot (-1) \cdot (x+1)^{-2} = -\frac{6}{(x+1)^2} \)

Шаг 7: Знаки производной

Анализируем знаки производной:

• \( f'(x) < 0 \) для всех \( x \neq -1 \)

Это означает, что функция убывает на всей области определения.

Вывод

Мы проанализировали функцию \( f(x) = \frac{6}{x+1} \) по разным аспектам.

• Область определения: \( x \neq -1 \)
• Вертикальная асимптота: \( x = -1 \)
• Горизонтальная асимптота: \( y = 0 \)
• Функция убывает на всей области определения.

Если есть дополнительное задание на нахождение значений функции в конкретных точках или построение графика, можно производить дальнейшие вычисления и чертежи.