Найдите точки экстремума функции

Условие:

Найдите точки экстремума функции z = x^3+y^3-3ху

Решение:

Хорошо, это задание по предмету "Математический анализ", раздел "Функции нескольких переменных". Нашей целью является найти точки экстремума функции \(z = x^3 + y^3 - 3xy\). Для нахождения точек экстремума функции двух переменных, необходимо найти ее критические точки, а затем исследовать их с помощью второго порядка частных производных. **Шаг 1: Находим частные производные первого порядка** \[ z = x^3 + y^3 - 3xy \] \[ \frac{\partial z}{\partial x} = 3x^2 - 3y \] \[ \frac{\partial z}{\partial y} = 3y^2 - 3x \] **Шаг 2: Находим критические точки** Для нахождения критических точек приравняем частные производные к нулю и решим систему уравнений: \[ 3x^2 - 3y = 0 \quad \text{(1)} \] \[ 3y^2 - 3x = 0 \quad \text{(2)} \] \[ x^2 - y = 0 \quad \text{(1')} \] \[ y^2 - x = 0 \quad \text{(2')} \] Решим сначала уравнение (1’): \[ y = x^2 \] Подставим это выражение в уравнение (2’): \[ (x^2)^2 - x = 0 \] \[ x^4 - x = 0 \] \[ x(x^3 - 1) = 0 \] Отсюда: \[ x = 0 \quad \text{или} \quad x^3 = 1, \quad x = 1 \] Мы получили два значения для \(x\): \(x = 0\) и \(x = 1\). Если \(x = 0\), то \(y = 0^2 = 0\). Если \(x = 1\), то \(y = 1^2 = 1\). Критические точки: \((0, 0)\) и \((1, 1)\). **Шаг 3: Находим вторые частные производные** \[ \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x}(3x^2 - 3y) = 6x \] \[ \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y}(3y^2 - 3x) = 6y \] \[ \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(3x^2 - 3y) = -3 \] \[ \frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(3y^2 - 3x) = -3 \] **Шаг 4: Определяем экстремумы с помощью определителя Гессе** Обозначим вторые производные: \[ f_{xx} = 6x \] \[ f_{yy} = 6y \] \[ f_{xy} = -3 \] Матрица Гессе будет следующей: \[ H = \begin{pmatrix} 6x & -3 \\ -3 & 6y \end{pmatrix} \] Определитель Гессе: \[ D = f_{xx} * f_{yy} - (f_{xy})^2 = 6x * 6y - (-3)^2 = 36xy - 9 \] 1. Для точки \((0, 0)\): \[ D = 36 \cdot 0 \cdot 0 - 9 = -9 \] Так как \(D < 0\), точка \((0, 0)\) является седловой точкой. 2. Для точки \((1, 1)\): \[ D = 36 \cdot 1 \cdot 1 - 9 = 27 \] Так как \(D > 0\) и \(f_{xx}(1, 1) = 6*1 = 6 > 0\), это точка минимума. **Ответ**: Функция \(z = x^3 + y^3 - 3xy\) имеет минимум в точке \((1,1)\) и седловую точку в точке \((0, 0)\).