Найдите точки экстремума функции

Хорошо, это задание по предмету "Математический анализ", раздел "Функции нескольких переменных". Нашей целью является найти точки экстремума функции \(z = x^3 + y^3 - 3xy\).

Для нахождения точек экстремума функции двух переменных, необходимо найти ее критические точки, а затем исследовать их с помощью второго порядка частных производных.

\[ z = x^3 + y^3 - 3xy \] \[ \frac{\partial z}{\partial x} = 3x^2 - 3y \] \[ \frac{\partial z}{\partial y} = 3y^2 - 3x \]

Для нахождения критических точек приравняем частные производные к нулю и решим систему уравнений:

\[ 3x^2 - 3y = 0 \quad \text{(1)} \] \[ 3y^2 - 3x = 0 \quad \text{(2)} \] \[ x^2 - y = 0 \quad \text{(1')} \] \[ y^2 - x = 0 \quad \text{(2')} \]

Решим сначала уравнение (1’):

\[ y = x^2 \]

Подставим это выражение в уравнение (2’):

\[ (x^2)^2 - x = 0 \] \[ x^4 - x = 0 \] \[ x(x^3 - 1) = 0 \]

Отсюда:

\[ x = 0 \quad \text{или} \quad x^3 = 1, \quad x = 1 \]

Мы получили два значения для \(x\): \(x = 0\) и \(x = 1\). Если \(x = 0\), то \(y = 0^2 = 0\). Если \(x = 1\), то \(y = 1^2 = 1\).

Критические точки: \((0, 0)\) и \((1, 1)\).

\[ \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x}(3x^2 - 3y) = 6x \] \[ \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y}(3y^2 - 3x) = 6y \] \[ \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(3x^2 - 3y) = -3 \] \[ \frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(3y^2 - 3x) = -3 \]

Обозначим вторые производные:

\[ f_{xx} = 6x \] \[ f_{yy} = 6y \] \[ f_{xy} = -3 \]

Матрица Гессе будет следующей:

\[ H = \begin{pmatrix} 6x & -3 \\ -3 & 6y \end{pmatrix} \]

Определитель Гессе:

\[ D = f_{xx} * f_{yy} - (f_{xy})^2 = 6x * 6y - (-3)^2 = 36xy - 9 \]

1. Для точки \((0, 0)\):

\[ D = 36 \cdot 0 \cdot 0 - 9 = -9 \]

Так как \(D < 0\), точка \((0, 0)\) является седловой точкой.

2. Для точки \((1, 1)\):

\[ D = 36 \cdot 1 \cdot 1 - 9 = 27 \]

Так как \(D > 0\) и \(f_{xx}(1, 1) = 6*1 = 6 > 0\), это точка минимума.

Функция \(z = x^3 + y^3 - 3xy\) имеет минимум в точке \((1,1)\) и седловую точку в точке \((0, 0)\).