Изучение поведения функций и поиска их производных

Условие:

y=(x^5)/((x^4)-1)

Решение:

Конечно! Давайте начнем с определения предмета и раздела предмета. **Предмет:** Математика **Раздел предмета:** Математический анализ (или Калькуляс) Конкретную задачу можно отнести к области изучения поведения функций и поиска их производных. Давайте решим задание подробно. ### Задание: Найти производную функции \( y = \frac{x^5}{x^4 - 1} \). Для этого мы используем правило дифференцирования дробно-рациональных функций, известное как правило частного. Пусть: \[ u(x) = x^5 \] \[ v(x) = x^4 - 1 \] Тогда: \[ y = \frac{u(x)}{v(x)} \] Согласно правилу частного (Лейбница): \[ y' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \] Теперь найдем производные \( u' \) и \( v' \). ### Шаг 1: Найти \( u' \) и \( v' \) \[ u(x) = x^5 \] \[ u'(x) = 5x^4 \] \[ v(x) = x^4 - 1 \] \[ v'(x) = 4x^3 \] ### Шаг 2: Применить правило частного \[ y' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \] Подставляем найденные производные: \[ y' = \frac{(5x^4)(x^4 - 1) - (x^5)(4x^3)}{(x^4 - 1)^2} \] ### Шаг 3: Упростить числитель Раскроем скобки и упростим числитель: \[ y' = \frac{5x^8 - 5x^4 - 4x^8}{(x^4 - 1)^2} \] Вынесем общие члены в числителе: \[ y' = \frac{(5x^8 - 4x^8 - 5x^4)}{(x^4 - 1)^2} \] \[ y' = \frac{x^8 (5 - 4) - 5x^4}{(x^4 - 1)^2} \] \[ y' = \frac{x^8 - 5x^4}{(x^4 - 1)^2} \] ### Шаг 4: Заключение Таким образом, производная функции \( y = \frac{x^5}{x^4 - 1} \) равна: \[ y' = \frac{x^8 - 5x^4}{(x^4 - 1)^2} \] Это и есть производная данной функции.