Изучение поведения функций и поиска их производных

Конечно! Давайте начнем с определения предмета и раздела предмета. Предмет: Математика Раздел предмета: Математический анализ (или Калькуляс) Конкретную задачу можно отнести к области изучения поведения функций и поиска их производных. Давайте решим задание подробно.

Задание: Найти производную функции \( y = \frac{x^5}{x^4 - 1} \).

Для этого мы используем правило дифференцирования дробно-рациональных функций, известное как правило частного. Пусть:

\[ u(x) = x^5 \]

\[ v(x) = x^4 - 1 \]

Тогда:

\[ y = \frac{u(x)}{v(x)} \]

Согласно правилу частного (Лейбница):

\[ y' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \]

Теперь найдем производные \( u' \) и \( v' \).

Шаг 1: Найти \( u' \) и \( v' \)

\[ u(x) = x^5 \]

\[ u'(x) = 5x^4 \]

\[ v(x) = x^4 - 1 \]

\[ v'(x) = 4x^3 \]

Шаг 2: Применить правило частного

\[ y' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \]

Подставляем найденные производные:

\[ y' = \frac{(5x^4)(x^4 - 1) - (x^5)(4x^3)}{(x^4 - 1)^2} \]

Шаг 3: Упростить числитель

Раскроем скобки и упростим числитель:

\[ y' = \frac{5x^8 - 5x^4 - 4x^8}{(x^4 - 1)^2} \]

Вынесем общие члены в числителе:

\[ y' = \frac{(5x^8 - 4x^8 - 5x^4)}{(x^4 - 1)^2} \]

\[ y' = \frac{x^8 (5 - 4) - 5x^4}{(x^4 - 1)^2} \]

\[ y' = \frac{x^8 - 5x^4}{(x^4 - 1)^2} \]

Шаг 4: Заключение

Таким образом, производная функции \( y = \frac{x^5}{x^4 - 1} \) равна:

\[ y' = \frac{x^8 - 5x^4}{(x^4 - 1)^2} \]

Это и есть производная данной функции.