Исследовать функции на непрерывность и построить схематические графики:

Этот пример из области математического анализа, раздел «Исследование функций».

Задача состоит из исследования функции на непрерывность в конкретной точке \( x_0 = 1 \), а также построения схематического графика функции. Функция \( f(x) \) задана кусочно: \[ f(x) = \begin{cases} x - 1, & \text{если } x < 1 \\ x^2 + 2, & \text{если } 1 \leq x \leq 2 \\ 3x, & \text{если } x > 2 \end{cases} \]

Исследуем функцию на непрерывность в точке \( x = 1 \):

1. Вычислим значение функции в точке \( x = 1 \): \[ f(1) = 1^2 + 2 = 3 \]
2. Проверка левого предела в точке \( x = 1 \): \[ \lim\limits_{x \to 1^-} f(x) = \lim\limits_{x \to 1^-} (x - 1) = 1 - 1 = 0 \]
3. Проверка правого предела в точке \( x = 1 \): \[ \lim\limits_{x \to 1^+} f(x) = \lim\limits_{x \to 1^+} (x^2 + 2) = 1^2 + 2 = 3 \]

Теперь можем сравнить результаты:

• Значение функции в точке \( x = 1 \): \( f(1) = 3 \)
• Левый предел в точке \( x = 1 \): \( \lim\limits_{x \to 1^-} f(x) = 0 \)
• Правый предел в точке \( x = 1 \): \( \lim\limits_{x \to 1^+} f(x) = 3 \)

Так как левый предел не равен значению функции и правому пределу, функция не является непрерывной в точке \( x = 1 \).

Теперь схематически построим график функции:

• На интервале \( x < 1 \): функция \( f(x) = x - 1 \) — это прямая с угловым коэффициентом 1, смещенная вниз на 1 единицу.
• В точке \( x = 1 \): есть разрыв, так как \( f(1) = 3 \), а \( \lim\limits_{x \to 1^-} f(x) = 0 \).
• На интервале \( 1 \leq x \leq 2 \): функция \( f(x) = x^2 + 2 \) — это парабола, смещенная вверх на 2 единицы.
• В точке \( x = 2 \): \( f(2) = 2^2 + 2 = 6 \).
• На интервале \( x > 2 \): функция \( f(x) = 3x \) — это прямая, угол наклона которой равен 3.

Следовательно, график будет выглядеть следующим образом:

1. Прямая линия с наклоном 1 на отрезке \( x < 1 \), которая заканчивает на \( (1, 0) \).
2. Парабола на отрезке \( 1 \leq x \leq 2 \), которая начинается в точке \( (1, 3) \) и заканчивается в точке \( (2, 6) \).
3. Прямая линия с наклоном 3, начиная с точки \( (2, 6) \).

Этот график иллюстрирует различие в значениях на границе между интервалами и подчеркивает разрыв в точке \( x = 1 \).