Построить график функции и по графику определить ее свойства

Предмет: Математика

Раздел: Алгебра, функции.

Задание: Построить график функции и по графику определить ее свойства

Функция, которую нужно исследовать: $\text{[}y=\frac{3}{x}+1\text{]}$

Обратите внимание, что мы имеем дело с гиперболой, измененной сдвигом на 1 вверх. Давайте пойдем по шагам, чтобы яснее понять, как построить график функции.

1. Разбор функции

Функция $\text{(}y=\frac{3}{x}+1\text{)}$ имеет две части:

1. $\text{(}\frac{3}{x}\text{)}$ — это гипербола. Она имеет:
   • вертикальную асимптоту при $\text{(}x=0\text{)}$, потому что при $\text{(}x=0\text{)}$ знаменатель идет к бесконечности, что делает функцию неопределенной.
   • горизонтальная асимптота — это исходное значение при больших значениях $\text{(}x\text{)}$, где $\text{(}\frac{3}{x}\text{)}$ стремится к нулю.
2. $\text{(}+1\text{)}$ — это сдвиг графика на 1 по вертикали вверх.

2. Построение базовой функции — $\text{(}y=\frac{3}{x}\text{)}$

• График данной функции симметричен относительно начала координат и находится в квадрантах I и III:
• При $\text{(}x>0\text{)}$, функция положительная и уменьшается с увеличением $\text{(}x\text{)}$.
• При $\text{(}x<0\text{)}$, функция отрицательная и увеличивается по модулю по мере уменьшения $\text{(}x\text{)}$.

Примеры нескольких ключевых точек для гиперболы:

3. Сдвиг графика $\text{(}+1\text{)}$

Теперь, каждая точка вышеприведенной гиперболы $\text{(}y=\frac{3}{x}\text{)}$ будет сдвинута на 1 единицу вверх. Это можно записать как $\text{(}y=\frac{3}{x}+1\text{)}$.

Новое значение функции:

Итак, основной принцип команды сдвига: все точки гиперболы $\text{(}y=\frac{3}{x}\text{)}$ подняты на 1 вверх.

4. Построение асимптот

• Вертикальная асимптота (что означает, что $\text{(}y\text{)}$ стремится к бесконечности или минус бесконечности по мере приближения $\text{(}x\text{)}$ к нулю) сохраняется на $\text{(}x=0\text{)}$, поскольку $\text{(}\frac{3}{x}\text{)}$ не определено при $\text{(}x=0\text{)}$, и новая функция также не существует при $\text{(}x=0\text{)}$.
• Горизонтальная асимптота $\text{(}y=1\text{)}$ (это происходит потому, что $\text{(}\frac{3}{x}\text{)}$ стремится к нулю при $\text{(}|x|\to \mathrm{\infty }\text{)}$, и $\text{(}+1\text{)}$ добавляет постоянное смещение).

5. Построение графика

1. Нарисуйте оси координат.
2. Проведите вертикальную асимптоту на $\text{(}x=0\text{)}$.
3. Учитывая таблицу значений и асимптоты на $\text{(}y=1\text{)}$, вы сможете приблизительно начертить график.
4. Не забудьте, что график функции в первой и третьей четвертях обязателен, так как значение $\text{(}y\text{)}$ меняется в зависимости от знака $\text{(}x\text{)}$.

6. Свойства функции

1. Область определения функции: $\text{(}D(y)=\mathbb{R}\mathrm{\setminus }\{0\}\text{)}$ — все числа, кроме $\text{(}x=0\text{)}$ (в точке $\text{(}x=0\text{)}$ у функции нет значения).
2. Область значений функции: $\text{(}E(y)=\mathbb{R}\mathrm{\setminus }\{1\}\text{)}$ — все числа, кроме 1, так как $\text{(}y=1\text{)}$ недостижимо (это горизонтальная асимптота).
3. Асимптоты:
   • Вертикальная асимптота: $\text{(}x=0\text{)}$.
   • Горизонтальная асимптота: $\text{(}y=1\text{)}$.
4. Периоды возрастания и убывания:
   • Функция убывающая на интервале $\text{(}(-\mathrm{\infty };0)\text{)}$.
   • Функция убывающая на интервале $\text{(}(0;+\mathrm{\infty })\text{)}$.
5. Четность: Функция нечетная, так как $\text{(}f(-x)\ne f(x)\text{)}$.

Результат:

Таким образом, вы построили график функции $\text{(}y=\frac{3}{x}+1\text{)}$ и определили ее свойства.