Построить график функции и по графику определить ее свойства

Предмет: Математика

Раздел: Алгебра, функции.

Задание: Построить график функции и по графику определить ее свойства

Функция, которую нужно исследовать: \[ y = \frac{3}{x} + 1 \]

Обратите внимание, что мы имеем дело с гиперболой, измененной сдвигом на 1 вверх. Давайте пойдем по шагам, чтобы яснее понять, как построить график функции.

1. Разбор функции

Функция \( y = \frac{3}{x} + 1 \) имеет две части:

1. \( \frac{3}{x} \) — это гипербола. Она имеет:
   • вертикальную асимптоту при \( x = 0 \), потому что при \( x = 0 \) знаменатель идет к бесконечности, что делает функцию неопределенной.
   • горизонтальная асимптота — это исходное значение при больших значениях \( x \), где \(\frac{3}{x}\) стремится к нулю.
2. \( +1 \) — это сдвиг графика на 1 по вертикали вверх.

2. Построение базовой функции — \( y = \frac{3}{x} \)

• График данной функции симметричен относительно начала координат и находится в квадрантах I и III:
• При \( x > 0 \), функция положительная и уменьшается с увеличением \( x \).
• При \( x < 0 \), функция отрицательная и увеличивается по модулю по мере уменьшения \( x \).

Примеры нескольких ключевых точек для гиперболы:

3. Сдвиг графика \( +1 \)

Теперь, каждая точка вышеприведенной гиперболы \( y = \frac{3}{x} \) будет сдвинута на 1 единицу вверх. Это можно записать как \( y = \frac{3}{x} + 1 \).

Новое значение функции:

Итак, основной принцип команды сдвига: все точки гиперболы \( y = \frac{3}{x} \) подняты на 1 вверх.

4. Построение асимптот

• Вертикальная асимптота (что означает, что \( y \) стремится к бесконечности или минус бесконечности по мере приближения \( x \) к нулю) сохраняется на \( x = 0 \), поскольку \(\frac{3}{x}\) не определено при \( x = 0 \), и новая функция также не существует при \( x = 0 \).
• Горизонтальная асимптота \( y = 1 \) (это происходит потому, что \(\frac{3}{x}\) стремится к нулю при \( |x| \to \infty \), и \( +1 \) добавляет постоянное смещение).

5. Построение графика

1. Нарисуйте оси координат.
2. Проведите вертикальную асимптоту на \( x = 0 \).
3. Учитывая таблицу значений и асимптоты на \( y = 1 \), вы сможете приблизительно начертить график.
4. Не забудьте, что график функции в первой и третьей четвертях обязателен, так как значение \( y \) меняется в зависимости от знака \( x \).

6. Свойства функции

1. Область определения функции: \( D(y) = \mathbb{R} \backslash \{0\} \) — все числа, кроме \( x = 0 \) (в точке \( x = 0 \) у функции нет значения).
2. Область значений функции: \( E(y) = \mathbb{R} \backslash \{ 1 \} \) — все числа, кроме 1, так как \( y = 1 \) недостижимо (это горизонтальная асимптота).
3. Асимптоты:
   • Вертикальная асимптота: \( x = 0 \).
   • Горизонтальная асимптота: \( y = 1 \).
4. Периоды возрастания и убывания:
   • Функция убывающая на интервале \( (-\infty; 0) \).
   • Функция убывающая на интервале \( (0; +\infty) \).
5. Четность: Функция нечетная, так как \( f(-x) \neq f(x) \).

Результат:

Таким образом, вы построили график функции \( y = \frac{3}{x} + 1 \) и определили ее свойства.